a, \(\frac{1}{2}\left(x+1\right)\left(3-x\right)+x=3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+1\right)\left(3-x\right)-\left(3-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3-x\right)\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3-x\right)\frac{x-1}{2}=0\Leftrightarrow x=3;x=1\)

b, \(\left(2x+1\right)\left(1-x\right)+2x=2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(1-x\right)-2\left(1-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(1-x\right)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2};x=1\)

c, Vì t = 3 là nghiệm của phương trình nên thay t = 3 vào phương trình trên ta được : 

\(\Rightarrow\frac{2}{5}-3-a-3=2a\left(a+2\right)\Leftrightarrow\frac{2}{5}-6-a=2a\left(a+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{2-30-5a}{5}=\frac{10a\left(a+2\right)}{5}\)Khử mẫu :

\(\Rightarrow-28-5a=10a^2+20a\)

\(\Leftrightarrow-10a^2-25a-28=0\) tự làm nốt nhé !!!

d, \(\left(x-2\right)^2=\left(2x+3\right)^2\)

TH1 : \(x-2=2x+3\Leftrightarrow x=-5\)

TH2 : \(x-2=-2x-3\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}\)

a, Xét △ ABC vuông tại A có: 

BC² = AC² + AB² (định lý Pytago)

=> BC² = 6² + 8² = 100

=> BC = 10 cm

Vì AD là phân giác \(\widehat{BAC}\) (gt)

\(\Rightarrow\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}=\frac{CD+BD}{AC+AB}=\frac{BC}{6+8}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\)(áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau)

Do đó: \(\frac{CD}{AC}=\frac{5}{7}\) \(\Rightarrow\frac{CD}{6}=\frac{5}{7}\) \(\Rightarrow CD=\frac{6.5}{7}=\frac{30}{7}\)(cm)

\(\frac{BD}{AB}=\frac{5}{7}\)\(\Rightarrow\frac{BD}{8}=\frac{5}{7}\)\(\Rightarrow BD=\frac{8.5}{7}=\frac{40}{7}\)(cm)

b, Xét △AHB vuông tại H và △AEH vuông tại E

Có: \(\widehat{HAB}\)là góc chung

=> △AHB ᔕ △AEH (g.g)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AE}=\frac{AB}{AH}\)

=> AH . AH = AE . AB

=> AH² = AE . AB

c, Xét △AHC vuông tại H và △AFH vuông tại F

Có: \(\widehat{HAC}\)là góc chung

=> △AHC ᔕ △AFH (g.g)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AF}=\frac{AC}{AH}\)

=> AH² = AF . AC

mà AH² = AE . AB (cmt)

=> AE . AB = AF . AC

 a : xét tg ABD và tg ACE có :

góc A chung

góc BAD = góc CEA (=90 độ)

ngoặc 2 dòng trên suy ra tg ABD đồng dạng vs tg ACE (g.g)

2^x = y^2 - 1 = (y+1)(y-1)

đặt y + 1 = 2^m , y-1 = 2^n (m > n)

=> 2^m - 2^n = 2

=> 2^n  (2^m-n - 1) = 2

=> 2^n = 2 và 2^m-n  - 1 = 1 => n = 1; m = 2

Vậy y = 3 => x = 3

Làm hơi muộn thông cảm nha =='' :

2^x + 1 = y² \(\Rightarrow\)y² - 1 = (y + 1)(y - 1) = 2^x

Giả sử y + 1 = 2^k ; y - 1 = 2^m (k > m; m,k \(\in\)N)

\(\Rightarrow\)2^k - 2^m = y + 1 - y + 1 = 2

\(\Rightarrow\)2m (2^{k - m} - 1) = 2

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2^m=2\\2^{k-m}-1=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=1\\k=2\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\)y = 3 \(\Rightarrow\)x = 3

Xét Δ ABC có:
D là trung điểm AB
F là trung điểm AC
~> DE là đường trung bình của Δ ABC
~> DE // BC và DE = 1/2 BC

a) Nếu \(m^4-4=0\Leftrightarrow m^4=4\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\sqrt{2}\\m=-\sqrt{2}\end{cases}}\)

TH1: \(m=\sqrt{2}\) khi đó PT tương đương:

\(\left[\left(\sqrt{2}\right)^4-4\right]x=3\sqrt{2}-6\)

\(\Leftrightarrow0x=3\sqrt{2}-6\)

=> PT vô nghiệm

TH2: \(m=-\sqrt{2}\) khi đó PT tương đương:

\(\left[\left(-\sqrt{2}\right)^4-4\right]x=-3\sqrt{2}-6\)

\(\Leftrightarrow0x=-3\sqrt{2}-6\)

=> PT vô nghiệm

Nếu \(m^4-4\ne0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}m\ne\sqrt{2}\\m\ne-\sqrt{2}\end{cases}}\)

Khi đó PT có nghiệm duy nhất: \(x=\frac{3m-6}{m^4-4}\)

KL: Nếu \(m=\pm\sqrt{2}\) thì PT vô nghiệm

      Nếu \(m\ne\pm\sqrt{2}\) thì PT có nghiệm duy nhất \(x=\frac{3m-6}{m^4-4}\)

b) Ta có: \(\left(2m+1\right)x-2m=3x-2\)

\(\Leftrightarrow2mx+x-2m-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow2mx-2x=2m-2\)

\(\Leftrightarrow2x\left(m-1\right)=2\left(m-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)x=m-1\)

Nếu \(m-1=0\Leftrightarrow m=1\) Khi đó PT trở thành:

\(\left(1-1\right)x=1-1\)

\(\Leftrightarrow0x=0\)

=> PT có vô số nghiệm \(x\inℝ\)

Nếu \(m-1\ne0\Rightarrow m\ne1\)

Khi đó PT có nghiệm duy nhất \(x=\frac{m-1}{m-1}=1\)

KL: Nếu m = 1 thì PT có vô số nghiệm \(x\inℝ\)

       Nếu \(m\ne1\) thì PT có nghiệm duy nhất x = 1

có ?????????

Ta có BĐT cô si:\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(1)

Mặt khác a,b là các số âm nên a+b<0 mà \(2\sqrt{ab}>0\)

\(\Rightarrow a+b< 2\sqrt{ab}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra vô lý

vậy...............

\(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)=120\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x-1\right)\left(x-4\right)\right]\left[\left(x-2\right)\left(x-3\right)\right]-120=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-5x+4\right)\left(x^2-5x+6\right)-120=0\)(*)

Đặt \(y=x^2-5x+4\)

Khi đó, phương trình (*) trở thành:

\(y\left(y+2\right)-120=0\)

\(\Leftrightarrow y^2+2y-120=0\)

\(\Leftrightarrow y^2-10y+12y-120=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(y-10\right)+12\left(y-10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+12\right)\left(y-10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=-12\\y=10\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-5x+4=-12\\x^2-5x+4=10\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x^2-5x+16=0\\x^2-5x-6=0\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=6\\x=-1\end{cases}}\)

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 120

<=> (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - 120 = 0

<=> [(x - 1)(x - 4)][(x - 2)(x - 3)] - 120 = 0

<=> (x² - 5x + 4)(x² - 5x + 6) - 120 = 0

<=> (x² - 5x + 5 - 1)(x² - 5x + 5 + 1) - 120 = 0

<=> (x² - 5x + 5)² - 121 = 0

<=> (x² - 5x + 5 - 11)(x² - 5x + 5 + 11) = 0

<=> (x² - 5x - 6)(x² - 5x + 11) = 0

<=> (x + 1)(x - 6)(x² - 5x + 11) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x-6=0\end{cases}}\left(\text{Vì }x^2-5x+11=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{19}{4}>0\forall x\right)\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=6\end{cases}}\)

Vậy x = -1 ; x = 6 là nghiệm của phương trình