Vì \(1;-1\)không phải là nghiệm của đa thức, đa thức ko có nghiệm nguyên cũng ko có nghiệm hữu tỉ 

Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng ( x^2 + ax + b )( x^2 + cx + d ) 

= x^4 + ( a + c )x^3 + ( ac + b + d)x^2 + ( ad + bc )x + bd 

\(\hept{\begin{cases}a+c=-3\\ac+b+d=-6\\ad+bc=3;bd=1\end{cases}}\)giải hệ ta có : \(a=-4;c=1;b=-1;d=-1\)

Vậy \(x^4-3x^3-6x^2+3x+1=\left(x^2-4x-1\right)\left(x^2+x-1\right)\)

hay \(\left(x^2-4x-1\right)\left(x^2+x-1\right)=0\)

TH1 : \(\Delta=16+4=20\)

\(\Rightarrow x=\frac{4\pm\sqrt{20}}{2}\)

TH2 : \(\Delta=1+4=5\)

\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)

Gọi 2 số nguyên đó là a ; b

Xét hiệu a³ + b³ - (a + b) 

= a³ - a + (b³ - b)

= a(a² - 1) + b(b² - 1)

= (a - 1)a(a + 1) + (b - 1)b(b + 1) \(⋮\)6 ( tổng 2 tích 3 số nguyên liên tiếp)

=> Tổng của hai số tự nhiên bất kì chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng các lập phương của chúng chia hết cho 6 (Đpcm)

Gọi hai số tự nhiên đó là a và b     (a,b \(\in\)N) thì :

a³ \(\equiv\)a (mod 6)

b³ \(\equiv\)b (mod 6)

\(\Rightarrow\)a + b \(⋮\)6 \(\Leftrightarrow\)a³ + b³ \(⋮\)6 (đpcm)

a, \(A=\frac{\left(x+2\right)^2}{x}\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)=\frac{\left(x+2\right)^2}{x}\left(\frac{x+2-x^2}{x+2}\right)\)

\(=\frac{-\left(x+2\right)^2\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{x\left(x+2\right)}=\frac{-\left(x\pm2\right)\left(x+1\right)}{x}\)

c, Theo bài ra ta có : \(C=\frac{A}{B}\)hay \(\frac{\frac{-\left(x\pm2\right)\left(x+1\right)}{x}}{\frac{4}{\left(x-2\right)^2}}=\frac{\frac{-\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{x}}{\frac{4}{x-2}}\)

d, Theo bài ra ta có : 

\(C>0\)hay \(\frac{\frac{-\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{x}}{\frac{4}{x-2}}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{x}.\frac{x-2}{4}>0\)

\(\Leftrightarrow-\left(x+2\right)\left(x+1\right)>0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow x>-2;x>-1\Rightarrow x>-1\)

Ta có : x(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 24

<=> [(x - 1)(x + 2)][x(x + 1)] - 24 = 0

<=> (x² + x - 2)(x² + x) - 24 = 0

<=> (x² + x - 1 - 1)(x² + x - 1 + 1) - 24 = 0

<=> (x² + x - 1)² - 1 - 24 = 0

<=> (x² + x - 1)² - 25 = 0

<=> (x² + x - 6)(x² + x + 4) = 0

<=> (x² - 2x + 3x - 6)(x² + x + 4) = 0

<=> [x(x - 2) + 3(x - 2)](x² + x + 4) = 0

<=> (x + 3)(x - 2)(x² + x + 4) = 0

<=> x + 3 = 0 hoặc x - 2 = 0 hoặc x² + x + 4 = 0

<=> x = -3 hoặc x = 2 hoặc x \(\in\varnothing\)

Vậy \(x\in\left\{-3;2\right\}\)là nghiệm phương trình

\(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)=24\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x\right)\left(x^2+x-2\right)-24=0\)

Đặt \(x^2+x=t\)

\(\Leftrightarrow t\left(t-2\right)-24=0\Leftrightarrow t^2-2t-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-6\right)\left(t+4\right)=0\Leftrightarrow t=6;t=-4\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-6=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+3\right)\Leftrightarrow x=2;x=-3\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+4=0\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 2 ; -3 }

Ta có: \(\left(2x-7\right)^3+\left(9-2x\right)^3=125\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-7+9-2x\right)\left[\left(2x-7\right)^2+\left(2x-7\right)\left(2x-9\right)+\left(9-2x\right)^2\right]=125\)

\(\Leftrightarrow2\left(4x^2-28x+49+4x^2-32x+63+4x^2-36x+81\right)=125\)

\(\Leftrightarrow2\left(12x^2-96x+193\right)=125\)

\(\Leftrightarrow24x^2-192x+261=0\)

\(\Rightarrow x=\frac{16\pm\sqrt{82}}{4}\)

\(2y^4-9y^3+14y^2-9y+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(2y^3-7y^2+7y-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(y-1\right)\left(2y^2-5y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2\left(y-2\right)\left(2y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2=0\)

hoặc \(y-2=0\)

hoặc \(2y-1=0\)

\(\Leftrightarrow y-1=0\)

hoặc \(y=2\)

hoặc \(2y=1\)

\(\Leftrightarrow y=1\)

hoặc \(y=2\)

hoặc \(y=\frac{1}{2}\)

Vậy tập nghiệm của PT là \(S=\left\{1;2;\frac{1}{2}\right\}\)

Không có gì

\(x^4-6x^3+27x^2-54x+32=0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-1\right)-5x^2\left(x-1\right)+22x\left(x-1\right)-32\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3-5x^2+22x-32\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)[x^2\left(x-2\right)-3x\left(x-2\right)+16\left(x-2\right)]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2-3x+16\right)=0\)

Ta có : \(x^2-3x+16=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{55}{4}\ge\frac{55}{4}>0\forall x\)

Khi đó ,PT tương đương với :

\(\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của PT là \(S=\left\{1;2\right\}\)

Xét ước 32 thử nghiệm lần lượt ta thấy 1 là nghiệm của phương trình hay x - 1 là nhân tử của phương trình 

\(\left(x^4-6x^3+27x^2-54x+32\right):\left(x-1\right)=x^3-5x^2+22x-32\)(*) 

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x^3-5x^2+22x-32\right)\)

tiếp tục thử nghiệm với phương trình (*) ta thấy 2 là nghiệm phương trình trên nên x - 2 là nhân tử của phương trình 

\(\left(x^3-5x^2+22x-32\right):\left(x-2\right)=x^2-3x+2\)

mà \(x^2-3x+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow x=1;x=2\)