\(S=\left[\sqrt{1}\right]+\left[\sqrt{2}\right]+\left[\sqrt{3}\right]+.........+\left[\sqrt{99}\right]+\left[\sqrt{100}\right]\)

\(=\left(\left[\sqrt{1}\right]+\left[\sqrt{2}\right]+\left[\sqrt{3}\right]\right)+\left(\left[\sqrt{4}\right]+\left[\sqrt{5}\right]+.....+\left[\sqrt{8}\right]\right)+...+\left(\left[\sqrt{81}\right]+...+\left[99\right]\right)+\left[\sqrt{100}\right]\)

\(=\left(1+1+1\right)+\left(2+2+2+2+2\right)+.......+\left(9+9+9+9+.....+9\right)+10\)

Đến đây dùng casio bạn nhé nếu mình ko có nhầm lẫn về mặt định nghĩa của phần nguyên ^_^

hóng cao nhân :)))) sáng giờ chả thấy ai 

Giả sử \(a\le b\)

+) Nếu \(b=1\rightarrow0\le a\le1;\)cần chứng minh:\(\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2+a}\). Nhưng đây là điều hiển nhiên vì \(a\ge0\)

+) Nếu b < 1 thì a < b < 1. Đặt \(a=\frac{x}{x+1},\text{ }b=\frac{y}{y+1}\text{ }\left(x,y\ge0\right)\)

Sau khi quy đồng được bất đẳng thức hiển nhiên. :D

Trả lời:

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{20-12\sqrt{5}+9}}}\)

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}\)

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}\)

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}\)

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}}\)

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}\)

\(A=\sqrt{1}\)

\(A=1\)

\(B=\frac{\left(5+2\sqrt{6}\right).\left(49-20\sqrt{6}\right).\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(B=\frac{\left(3+2\sqrt{6}+2\right).\left(49-20\sqrt{6}\right).\sqrt{3-2\sqrt{6}+2}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(B=\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2.\left(49-20\sqrt{6}\right).\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(B=\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2.\left(49-20\sqrt{6}\right).\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{9\sqrt{33}-11\sqrt{2}}\)

\(B=\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right).\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right).\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right).\left(49-20\sqrt{6}\right)}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(B=\frac{\left(3-2\right).\left(49\sqrt{3}-60\sqrt{2}+49\sqrt{2}-40\sqrt{3}\right)}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(B=\frac{1.\left(9\sqrt{3}-11\sqrt{2}\right)}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(B=1\)

a) Ta có: \(\sqrt{29-12\sqrt{5}}=\sqrt{20-12\sqrt{5}+9}=\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}\)

\(=\left|2\sqrt{5}-3\right|=2\sqrt{5}-3\)

\(\Rightarrow\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}=\sqrt{3-\left(2\sqrt{5}-3\right)}=\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}\)

\(=\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{5}-1\right|=\sqrt{5}-1\)

\(\Leftrightarrow A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}=\sqrt{\sqrt{5}-\left(\sqrt{5}-1\right)}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}=\sqrt{1}=1\)( đpcm )

kẻ đường cao AH ta có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

AD và AE là hai tia phân giác cả hai góc kề bù => AD _|_ AE

AH là đường cao của tam giác vuông ADE ta có

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AD^2}+\frac{1}{AE^2}\)

vậy \(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AD^2}+\frac{1}{AE^2}\)

A B C K N 5 12

Mik gọi như này nhé, từ trung điểm M của BC, kẻ vuông góc với BC cắt AC tại N và AB tại K.

Bài làm

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}\)

hay \(BC=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}\)

=> \(BC=\sqrt{169}=13\left(cm\right)\)

=> \(BM=MC=\frac{BC}{2}=\frac{13}{2}=6,5\left(cm\right)\)

Xét tam giác ABC và tam giác MNC có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{NMC}=90^0\)

\(\widehat{C}\)chung

=> Tam giác ABC ~ tam giác MNC ( g-g )

=> \(\frac{AB}{MN}=\frac{AC}{MC}\)

hay \(\frac{5}{MN}=\frac{12}{6,5}\Rightarrow MN=\frac{65}{24}\left(cm\right)\)

b) Xét tam giác ABC vuông tại A

Đường cao AH

=> \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

hay \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{12^2}\)

=> \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{25}+\frac{1}{144}\)

=> \(\frac{1}{AH^2}=\frac{169}{3600}\)

=> \(AH^2=\frac{3600}{169}\)

=> \(AH=\sqrt{\frac{3600}{169}}=\frac{60}{13}\)( cm )

Xét tam giác AHB vuông tại H có:

Theo Pytago có:

\(BH^2=AB^2-AH^2\)

hay \(BH^2=5^2-\frac{3600}{169}\)

=> \(BH^2=25-\frac{3600}{169}\)

=>\(BH^2=\frac{625}{169}\)

=> \(BH=\frac{25}{13}\)( cm )

Ta có: BH + HC = BC

hay \(\frac{25}{13}+HC=13\)

=> \(HC=13-\frac{25}{13}\)

=> \(HC=\frac{144}{13}\)