Có ba máy in, in trên mỗi tấm bìa một cặp số tự nhiên hoạt động theo nguyên tắc sau:

   Máy 1: In ra tấm bìa \(\left(a+1,b+1\right)\) từ tấm bìa \(\left(a,b\right)\)

   Máy 2: In ra tấm bìa \(\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2}\right)\) từ tấm bìa \(\left(a,b\right)\) nếu \(a\) và \(b\) đều chẵn.

   Máy 3: In ra tấm bìa \(\left(a,c\right)\) từ hai tấm bìa \(\left(a,b\right)\) và \(\left(b,c\right)\)

a) Ban đầu ta có tấm bìa \(\left(5;19\right)\), hỏi có thể in được các tấm bìa \(\left(1,100\right)\) và \(\left(1,50\right)\) hay không?

b) Ban đầu ta có tấm bìa \(\left(a,b\right)\) với \(1\le a< b\le n\). Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) sao cho ta nhận được tấm bìa \(\left(1,n\right)\)

Một cửa hàng bán trà sữa sắp khai trương đang nghiên cứu thị trường để định giá bán cho mỗi cốc trà sữa trân châu. Sau khi nghiên cứu, người quản lý thấy rằng nếu bán với giá

30 000 đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán được 2 200 cốc, còn từ mức giá 30 000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1 000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc mỗi tháng. Biết chi phí nguyên vật liệu để pha một cốc trà sữa không thay đổi là 22 000 đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc trà sữa với giá bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất?

Một công ty bắt đầu sản xuất và bán một loại xe máy từ năm 2018. Số lượng loại xe máy đó bán được trong hai năm liên tiếp 2018 và 2019 lần lượt là 4 nghìn và 4,5 nghìn chiếc. Theo nghiên cứu dự báo thị trường của công ty, trong khoảng 10 năm kể từ 2018, số lượng xe máy loại đó bán được mỗi năm có thể được xấp xỉ bởi một hàm số bậc hai. Giả sử t là thời gian (theo đơn vị năm) tính từ năm 2018. Số lượng loại xe máy đó bán được trong năm 2018 và năm 2019 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm (0;4) và (1;4,5). Giả sử điểm (0;4) là đỉnh đồ thị của hàm số bậc hai này. Hỏi đến năm bao nhiêu thì số lượng xe máy đó bản được trong năm sẽ vượt mức 40 nghìn chiếc?