Ta có:

\(\left(n+3\right)⋮\left(n+7\right)\Rightarrow\left(n+3\right)-\left(n+7\right)⋮\left(n+7\right)\)

\(\left(n-n\right)+\left(3-7\right)⋮\left(n+7\right)\Rightarrow4⋮\left(n+7\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+7\right)\inƯ\left(4\right)\Rightarrow\left(n+7\right)\in\left\{1;-1;4;-4\right\}\)

Xét bảng sau:

Vậy \(n\in\left\{-6;-8;-3;-11\right\}\)

Ta có: (n+3)= (n+7-4)

(n+7)-4 chia hết cho (n+7)

Mà (n+7) chia hết cho (n+7)

Vậy -4 chia hết cho (n+7)

Vậy (n+7) thuộc Ư(-4) = { 1,-1,2,-2,4,-4}

Xét n+7=1

n+7=-1

.....

Vậy n=1-7

n=-1-7

.....

Vậy n = -6

n= -8

.....

Vậy n thuộc {−6;−8;−3;−11}

Dùng phương pháp chặn :

a, x \(⋮\) (-2) ⇒ x = 2k ; k \(\in\) Z;    -10  ≤ x ≤ 2 ⇒ -10 ≤ 2k  ≤ 2 ⇒ -5≤k≤1

⇒k \(\in\) { -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1} ⇒ x \(\in\) { -10; -8; -6; -4; -2; 0; 2}

b -30 ⋮ x ⇒ x \(\in\) Ư(-30) 

-30 = -( 2.3.5)  

⇒ Ư(-30) ={ -30; -15; -10; -6; -5; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

⇒ x \(\in\) { -30; -15;  -10; -6; -5; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

Ta có:

\(\overline{206mnt}:501=\overline{mnt}\Rightarrow501\overline{mnt}=\overline{206mnt}\)

\(\Rightarrow\left(500+1\right)\overline{mnt}=206000+\overline{mnt}\)

\(\Rightarrow500\overline{mnt}+\overline{mnt}=206000+\overline{mnt}\)

\(\Rightarrow500\overline{mnt}=206000\Rightarrow\overline{mnt}=\dfrac{206000}{500}=412\)

Vậy m = 4; n = 1; t = 2

                 Dùng phương pháp chặn của toán học em nhé

    nếu  \(\overline{mnt}\) = 500 ⇒ 500. 501 = 250 500 > \(\overline{206mnt}\) vô lý 

                \(\Rightarrow\) 100≤ \(\overline{mnt}\) < 500

                     \(\overline{206mnt}\) : 501 = \(\overline{mnt}\)

      ( 206 000 + \(\overline{mnt}\) ) : 501 =  \(\overline{mnt}\)

( 205 911 + 89 + \(\overline{mnt}\)) : 501 = \(\overline{mnt}\)

           411 + \(\dfrac{89+\overline{mnt}}{501}\)        =  \(\overline{mnt}\)

       ⇒  89 + \(\overline{mnt}\) ⋮ 501

       ⇒ 89 + \(\overline{mnt}\) \(\in\) B(501)

          vì 100 ≤  \(\overline{mnt}\) < 500 ⇒ 189 ≤ 89 + \(\overline{mnt}\)  < 589  (2) 

B(501) = { 0; 501; 1002; 1503;.....} (3) 

Kết hợp (1); (2) (3) ta có : 89 + \(\overline{mnt}\) = 501

  89 + \(\overline{mnt}\) = 501 ⇒ \(\overline{mnt}\) = 501 - 89 = 412

Kết luận số thích hợp thỏa mãn đề bài là  206 412 

  1 - 2x ⋮ x 

⇒ 1       ⋮ x

⇒ x       \(\in\) { -1; 1}

Lời giải:
Xét tử số:

$101+100+99+98+...+3+2+1=(101+1).101:2=5151$

Xét mẫu số:

$101-100+99-98+...+3-2+1$

$=(101-100)+(99-98)+...+(3-2)+1=\underbrace{1+1+....+1}_{50} +1=1.50+1=51$

Vậy $A=\frac{5151}{51}=101$

           2x + 3 ⋮ x - 1

⇒ 2x - 2 + 5  ⋮ x - 1

   2(x-1) + 5  ⋮ x - 1

                5  ⋮ x - 1

     x - 1      \(\in\) { -5; -1; 1; 5}

    x            \(\in\) { -4; 0; 2; 6}

a, x ⋮ (-2) và -10 ≤ x ≤ 2

    x ⋮ (-2) ⇒ x \(\in\) B(-2)  ⇒ x = -2k ; k \(\in\) Z 

   vì -10 ≤ x ≤ 2 ⇒ -10 ≤  -2k  ≤ 2 ⇒ -5 ≤ k ≤ 1

    ⇒ k \(\in\) { -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1}

    ⇒ x \(\in\) { -10; -8; -6; -4; -2; 0; 2}

b, -30 ⋮ x ⇒ x \(\in\) Ư(-30) 

  - 30 = - ( 2. 3. 5 ) 

Ư(-30) = { -30; -15; - 10; - 6; -5; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

Lời giải:

$x\vdots -2$ nên $x$ là số chẵn.

Mà $-10\leq x\leq 2$ nên $x\in\left\{-10; -8; -6; -4; -2; 0;2\right\}$

------------

$-30\vdots x$ mà $x$ nguyên nên $x$ là ước của $-30$

$\Rightarrow x\in\left\{\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 5; \pm 6; \pm 10; \pm 15; \pm 30\right\}$

Lời giải:

Số số hạng của tổng $2+4+...+2010$ là: $(2010-2):2+1=1005$

$2^x=2+4+6+...+2010=(2010+2).1005:2=1011030$

Với giá trị này không tồn tại $x$ nguyên thỏa mãn bạn nhé.

           A    =              4¹⁰⁰  + 4⁹⁹ +...........+  4¹ + 1

        4A    =   4¹⁰¹ + 4¹⁰⁰  + 4⁹⁹ +............+ 4¹ 

  4A - A    =   4¹⁰¹ - 1 

      3A     =   4¹⁰¹ - 1

        A     =   (4¹⁰¹ - 1): 3