\(\left(x+y\right)^3=\left(x-y-6\right)^2\)

Vì \(x,y>0\Rightarrow\left(x+y\right)^3>\left(x+y\right)^2\)

Mà \(\left(x+y\right)^3=\left(x-y-6\right)^2\)

Nên \(\left(x-y-6\right)^2>\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x-y-6\right)^2< 0\) 

\(\Leftrightarrow\left(x+y+x-y-6\right)\left(x+y-x+y+6\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-6\right)\left(2y+6\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow4\left(x-3\right)\left(y+3\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y+3\right)< 0\)

Do đó \(x-3\)và \(y+3\)trái dấu với nhau.

Mà \(y>0\Rightarrow y+3>0\)

Do đó \(x-3< 0\Leftrightarrow x< 3\)

Mà \(x>0\)nên \(x\in\left\{1;2\right\}\)

Với \(x=1\)thì phương trinh trở thành:

\(\left(1+y\right)^3=\left(1-y-6\right)^2\)

\(\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1=\left(-y-5\right)^2\)

\(\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1=y^2+10y+25\)

\(\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1-y^2-10y-25=0\)

\(\Leftrightarrow y^3+2y^2-7y-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^3-3y^2\right)+\left(5y^2-15y\right)+\left(8y-24\right)=0\)

\(\Leftrightarrow y^2\left(y-3\right)+5y\left(y-3\right)+8\left(y-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+5y+8\right)\left(y-3\right)=0\)

Mà \(y>0\Rightarrow y^2+5y+8>0\), do đó:

\(y-3=0:\left(y^2+5y+8\right)\)

\(\Leftrightarrow y-3=0\)

\(\Leftrightarrow y=3\)(thỏa mãn \(y>0\))

A B C D a b c d

\(AD^2=ba-cd\)

\(\Rightarrow AD=\sqrt{ba-cd}\)

Có thế này thôi ( bạn cần chứng minh không?)

Cho \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=6\end{cases}}\). Chứng minh \(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge6\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có ngay :

\(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{c+a+b}=\frac{6^2}{6}=6\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(b^2+c^2\ge2\sqrt{b^2c^2}=2\sqrt{\left(bc\right)^2}=2\left|bc\right|=2bc\)( b,c > 0 )

=> a( b² + c² ) ≥ 2abc

Tương tự : b( c² + a² ) ≥ 2abc ; c( a² + b² ) ≥ 2abc

Cộng vế với vế các bđt trên ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c 

a) Xét tam giác AHB và tam giác AHC:
 AB=AC(gt)
$\widehat{BAH}$ =$\widehat{CAH}$ (gt)
AH là cạnh chung
=>$\Delta AHB=\Delta AHC$
b) Từ câu a) =>$\widehat{AHB}$ =$\widehat{AHC}$(2 góc tương ứng)  (*)
Ta có:$\widehat{AHB}$ + $\widehat{AHC}$ =180 độ (**)
Từ (*) và (**) =>$\widehat{AHB}$ =$\widehat{AHC}$ =$\frac{180}{2}$=90 độ
Vậy AH$\perp$BC
c) Từ câu a)=> $\hat{B}$=$\hat{C}$ (2 góc tương ứng);BH=HC(2 cạnh tương ứng)
Ta có:$\widehat{DHB}$=180 độ -$\widehat{BDH}$ -$\widehat{DBH}$
$\widehat{EHC}$=180 độ -$\widehat{HEC}$ -$\widehat{ECH}$
Mà $\hat{B}$=$\hat{C}$ (cmt)
=>$\widehat{DHB}$=$\widehat{EHC}$
=>$\Delta DHB=\Delta EHC$(g.c.g)
=>DB=EC
Ta có:AD=AB-BD
AE=AC-EC
Mà BD=EC;AB=AC
=>AD=AE
Xét $\Delta ADI$ và $\Delta AEI$
AD=AE (cmt)
$\widehat{DAI}$=$\widehat{EAI}$(gt)
AH là cạnh chung
=>$\Delta ADI$=$\Delta AEI$(c.g.c)
=>$\widehat{AID}$=$\widehat{AIE}$=$\frac{180}{2}$=90(tương tự câu b)
=>AH$\perp$DE
Vì DE$\perp$ AH;BC$\perp$AH,Vậy DE song song BC

@FG★Ĵ❍ƙĔŔᵛᶰ chép mạng lỗi bài kìa,lần sau ghi nguồn vô nhá:)))

Tiến hành phân tích :

Tử : x⁴ + 2x³ + 8x + 16 = x³( x + 2 ) + 8( x + 2 )

= ( x + 2 )( x³ + 8 ) = ( x + 2 )²( x² - 2x + 4 )

Mẫu : x⁴ - 2x³ + 8x² - 8x + 16

= x⁴ - 2x³ + 4x² + 4x² - 8x + 16

= x²( x² + 4 ) - 2x( x² + 4 ) + 4( x² + 4 )

= ( x² + 4 )( x² - 2x + 4 )

=> \(\frac{x^4+2x^3+8x+16}{x^4-2x^3+8x^2-8x+16}=\frac{\left(x+2\right)^2\left(x^2-2x+4\right)}{\left(x^2+4\right)\left(x^2-2x+4\right)}=\frac{\left(x+2\right)^2}{x^2+4}\)

Dễ thấy bthức ≥ 0 ∀ x

Vậy GTNN của bthức = 0 <=> x = -2

*bài này cũng tìm được Max nhé :)*

\(\frac{x^4+2x^3+8x+16}{x^3-2x^3+8x^2-8x+16}\)

\(=\frac{x^3\left(x+2\right)+8\left(x+2\right)}{x^3-2x^3+4x^2+4x^2-8x+16}\)

\(=\frac{\left(x+2\right)\left(x^3+8\right)}{x^2\left(x^2+4\right)-2x\left(x^2+4\right)+4\left(x^2+4\right)}\)

\(=\frac{\left(x+2\right)\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}{\left(x^2+4\right)\left(x^2-2x+4\right)}\)

\(=\frac{\left(x+2\right)^2\left(x^2-2x+4\right)}{\left(x^2+4\right)\left(x^2-2x+4\right)}=\frac{\left(x+2\right)^2}{\left(x^2+4\right)}\)

Nhận thấy \(\frac{\left(x+2\right)^2}{x^2+4}\ge0\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x+2=0\Leftrightarrow x=-2\)

Vậy \(Min=0\Leftrightarrow x=-2\)

Trong 3 số a, b, c sẽ có 2 số cùng dấu giả sử 2 số đó là a, b

\(\Rightarrow ab>0\)

Ta có: 

\(a+b=-c\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=\left(-c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=2c^2-2ab\)

Ta cần chứng minh

\(a^2+b^2+c^2=2c^2-2ab< 2\)

\(\Leftrightarrow c^2-ab< 1\)

\(\Leftrightarrow\left(1-c^2\right)+ab>0\) (đúng )

Vậy ta có điều phải chứng minh

\(-3x-x^3-3x^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow-3x\left(x+1\right)-\left(x^3+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-3x\left(x+1\right)-\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(-3x-x^2+x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(-x^2-2x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-\left(x+1\right)\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { -1 } 

-3x - x³ - 3x² - 1 = 0

<=> x³ + 3x² + 3x + 1 = 0

<=> ( x + 1 )³ = 0

<=> x + 1 = 0

<=> x = -1

Vậy S = { -1 }