Lời giải:

Đặt $x+y=a; 3x+2y=b$ với $a,b\in\mathbb{Z}$ thì pt trở thành:

$ab^2=b-a-1$

$\Leftrightarrow ab^2+a+1-b=0$

$\Leftrightarrow a(b^2+1)+(1-b)=0$

$\Leftrightarrow a=\frac{b-1}{b^2+1}$

Để $a$ nguyên thì $b-1\vdots b^2+1$

$\Rightarrow b^2-b\vdots b^2+1$

$\Rightarrow (b^2+1)-(b+1)\vdots b^2+1$

$\Rightarrow b+1\vdots b^2+1$

Kết hợp với $b-1\vdots b^2+1$

$\Rightarrow (b+1)-(b-1)\vdots b^2+1$

$\Rightarrow 2\vdots b^2+1$
Vì $b^2+1\geq 1$ nên $b^2+1=1$ hoặc $b^2+1=2$
Nếu $b^2+1=1\Rightarrow b=0$. Khi đó $a=\frac{b-1}{b^2+1}=-1$
Vậy $x+y=-1; 3x+2y=0\Rightarrow x=2; y=-3$ (tm) 

Nếu $b^2+1=2\Rightarrow b=\pm 1$
Với $b=1$ thì $a=\frac{b-1}{b^2+1}=0$

Vậy $x+y=0; 3x+2y=1\Rightarrow x=1; y=-1$ (tm)

Với $b=-1$ thì $a=-1$

Vậy $x+y=-1; 3x+2y=-1\Rightarrow x=1; y=-2$ (tm)

\(y=\left(m-1\right)^2+2\left(d\right)\)

a) (d) đi qua A(1; 1)

\(\Rightarrow\)x=1; y=1

Thay x=1; y=1 vào (d)

\(\Rightarrow\) \(\left(m-1\right)^2\times1+2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2=-1\)(vô lí)

Vậy ko có m để (d) đi qua A(1; 1)

Là một biểu thức biểu diễn mối quan hệ của các biến số thông qua dấu bằng.

a) Tứ giác BDFN nội tiếp nên \(\widehat{CNA}=\widehat{BDF}\) (*)

 Xét đường tròn (K), đường kính BM, ta có \(\widehat{MNB}=90^o\)  hay \(MN\perp AB\) tại N (1)

 Với lí do tương tự, ta có \(AD\perp EB,BC\perp EA\), do đó M là trực tâm của tam giác EAB \(\Rightarrow EM\perp AB\)  (2)

 Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) M, N, P thẳng hàng và đường thẳng này vuông góc với AB.

 Từ đó suy ra tứ giác BECN nội tiếp (vì \(\widehat{ECB}=\widehat{ENB}=90^o\))

 \(\Rightarrow\widehat{CNA}=\widehat{AEB}\) (**)

Từ (*) và (**), suy ra \(\widehat{BDF}=\widehat{BEA}\) \(\Rightarrow\) DF//AE (đpcm)

b) Tương tự như trên, ta có tứ giác AEDN nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{BND}=\widehat{AEB}\), dẫn đến \(\Delta BDN~\Delta BAE\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{BN}{BE}\Rightarrow BD.BE=BA.BN\) (3)

 Tứ giác NBMD nội tiếp nên \(\widehat{ANM}=\widehat{ADB}\), dẫn đến \(\Delta AMN~\Delta ABD\left(g.g\right)\) 

 \(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AD}\Rightarrow AD.AM=AB.AN\)  (4)

Cộng theo vế (3) và (4), thu được \(BD.BE+AM.AD=AB.BN+AB.AN=AB\left(BN+AN\right)=AB^2=4R^2\)không thay đổi. (đpcm)

\(2x^2+3xy+y^2+5x+3y=15\)

\(\Leftrightarrow y^2+3\left(x+1\right)y+2x^2+5x-15=0\)

\(\Delta=\left[3\left(x+1\right)\right]^2-4\left(2x^2+5x-15\right)\)

\(=9x^2+18x+9-8x^2-20x+60\)

\(=x^2-2x+69=\left(x-1\right)^2+68\ge68>0\) nên pt (*) luôn có nghiệm thực.

Do đó \(y=\dfrac{-3\left(x+1\right)\pm\sqrt{x^2-2x+69}}{2}\)

Vì y là số nguyên nên \(x^2-2x+69\) là số chính phương. Đặt \(x^2-2x+69=k^2\)  \(\left(k\inℕ,k\ge9\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+68=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(k-x+1\right)\left(k+x-1\right)=68\)

Ta có bảng sau:

Thử lại, ta thấy pt đã cho có các nghiệm nguyên sau:

 (17; -18), (17; -36), (15; 30), (15; 12)

Chỗ KQ mình sửa lại thành dấu "-" như thế này nhé

* Với dạng bài này, bạn giải bằng cách bình phương cả 2 vế nhé, nhớ đặt điều kiện xác định để phương trình có nghĩa(là để căn ko âm đấy) và đối chiếu x tìm được với ĐK.

a) \(\sqrt{ }\)16x = 8 (ĐKXĐ: x\(\ge\) 0)

\(\Leftrightarrow\) 16x =64

\(\Leftrightarrow\) x = 4 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy x=4 (đối với đề bài yêu cầu tìm x)

Vậy phương trình có nghiệm là x=4 (đối với đề bài yêu cầu giải phương trình). Cái này đề bài yêu cầu gì thì bạn KL theo cách mà mình nói nhé.

b) \(\sqrt{ }\)4x = \(\sqrt{ }\)5 (ĐKXĐ: x\(\ge\) 0)
\(\Leftrightarrow\) 4x = 5

\(\Leftrightarrow\) x =5/4 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy...
c) \(\sqrt{x-1}\) = 21 (ĐKXĐ: x\(\ge\) 1)

\(\Leftrightarrow\) x-1 = 441

\(\Leftrightarrow\) x = 442 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy...

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2+b^2}$

$\geq \frac{(1+1+1+1+1+1+1)^2}{2ab+2ab+2ab+2ab+a^2+b^2+a^2+b^2+a^2+b^2}=\frac{49}{8ab+3(a^2+b^2)}$

$=\frac{49}{3(a+b)^2+2ab}\geq \frac{49}{3(a+b)^2+\frac{(a+b)^2}{2}}=\frac{49}{3+\frac{1}{2}}=14$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$2A=2x^2y^2(x^2+y^2)=xy.[2xy(x^2+y^2)]\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2.\left(\frac{2xy+x^2+y^2}{2}\right)^2$

$\Leftrightarrow 2A\leq \frac{(x+y)^6}{16}=\frac{1}{16}$

$\Rightarrow A\leq \frac{1}{32}$
Vậy $A_{\max}=\frac{1}{32}$. Giá trị này đạt được khi $x=y=\frac{1}{2}$