Hai bạn An và Bình chơi trò chơi bốc bi. Hai người bốc luôn phiên, mỗi lần bốc tối thiểu 1 viên và tối đa không vượt quá một nửa số bi còn lại. Ví dụ, nếu số bi còn lại là 6 viên thì có thể bốc 1 hoặc 2 hoặc 3 viên; nếu số bi còn lại 7 viên thì cũng được bốc 1 hoặc 2 hoặc 3 viên (vì nếu bốc 4 viên thì vượt quá 1/2 số bi). Ai đến lượt mình đi không còn bi để bốc thì thua. 

Biết lúc đầu đống bi có 11 viên và An là người đi trước. Hãy cho biết ai là người thắng cuộc; biết rằng cả hai bạn đều rất thông minh, biết cách đi có lợi nhất cho mình

\(Q=\left(\frac{2}{2+2\sqrt{a}}+\frac{1}{2-2\sqrt{a}}-\frac{a^2+1}{1-a^2}\right)\left(1+\frac{1}{a}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{2\left(1+\sqrt{a}\right)}+\frac{1}{2\left(1-\sqrt{a}\right)}-\frac{a^2+1}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1+a\right)}\right)\left(\frac{a+1}{a}\right)\)

\(=\left(\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+a\right)+\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1+a\right)-2\left(a^2+1\right)}{2\left(1-a\right)\left(1+a\right)}\right)\left(\frac{a+1}{a}\right)\)

\(=\left(\frac{1+a-\sqrt{a}-a\sqrt{a}+1+a+\sqrt{a}+a\sqrt{a}-2a^2-2}{2\left(1-a\right)\left(1+a\right)}\right)\left(\frac{a+1}{a}\right)\)

\(=\left(\frac{2a-2a^2}{2\left(1-a\right)\left(1+a\right)}\right)\)

\(=\frac{a}{a}\)= 1