\(P=\frac{x^4}{x^2y^2+x^2yz+z^2x^2}+\frac{y^4}{y^2z^2+xzy^2+x^2y^2}+\frac{z^4}{z^2x^2+xyz^2+y^2z^2}\)

ÁP DỤNG BĐT CAUCHY -  SCHWARZ TA ĐƯỢC:

=>   \(P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+xyz\left(x+y+z\right)}\)           (1)

TA SẼ CHỨNG MINH:    \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+xyz\left(x+y+z\right)}\ge1\)         (2)

<=>   \(x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+xyz\left(x+y+z\right)\)

<=>   \(x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)        (*)

TA ÁP DỤNG LIÊN TỤC 2 LẦN DẠNG BĐT SAU:     \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\ge\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma\)

KHI ĐÓ TA SẼ ĐƯỢC:    \(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

VẬY BĐT (*) LÀ LUÔN ĐÚNG.

=> TỪ (1) VÀ (2)    =>    \(P\ge1\)

DẤU "=" XẢY RA <=>    \(x=y=z\)

VẬY P MIN = 1 <=>    x = y = z .

BÀI 1:

a) 

PT <=>    \(3x-2=7-4\sqrt{3}\)

<=>    \(3x=9-4\sqrt{3}\)

<=>    \(x=3-\frac{4}{\sqrt{3}}\)

b)

pt =>   \(x+1=14-6\sqrt{5}\)

<=>   \(x=13-6\sqrt{5}\)

BÀI 2: 

a)

pt <=>   \(\sqrt{x^2-9}=3\sqrt{x-3}\)

<=>   \(x^2-9=9\left(x-3\right)\)

<=>   \(x^2-9=9x-27\)

<=>   \(x^2-9x+18=0\)

<=>   \(\orbr{\begin{cases}x=6\\x=3\end{cases}}\)

BÀI 2: 

b)

pt <=>   \(\sqrt{x^2-4}=2\sqrt{x+2}\)

<=>   \(x^2-4=4\left(x+2\right)\)

<=>   \(x^2-4=4x+8\)

<=>   \(x^2-4x-12=0\)

<=>   \(\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=6\end{cases}}\)

BÀI 3:

pt <=>   \(x^2=5\)

<=>   \(\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{5}\\x=-\sqrt{5}\end{cases}}\)

GTLN chứ ?

\(P\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}+\frac{1}{ay}+\frac{1}{bz}+\frac{1}{cx}+\frac{1}{az}+\frac{1}{bx}+\frac{1}{cy}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

?

tìm giá trị nhỏ nhất cơ mà bạn PHÙNG MINH QUÂN ???

a/    Fe → FeCl₂ → Fe(OH)₂ → FeSO₄ → Fe(NO₃)₂ → Fe₂(SO₄)₃ → Fe(OH)₃ → Fe₂O₃ → Fe → FeCl₃

1. Fe + 2HCl → FeCl₂ + H₂

2. FeCl₂ + Ba(OH)₂ → Fe(OH)₂ + BaCl₂ 

3. Fe(OH)₂ + H₂SO₄ → FeSO₄ + 2H₂O

4. FeSO₄ + Ba(NO₃)₂ → Fe(NO₃)₂ + BaSO₄

5. 6Fe(NO₃)₂ + 9H₂SO₄ → 3Fe₂(SO₄)₃ + 4H₂O + 10HNO₃ + NO

6. Fe₂(SO₄)₃ + 6NaOH → 2Fe(OH)₃ + 3Na₂SO₄

7. 2Fe(OH)₃ → (nhiệt độ) Fe₂O₃ + 3H₂O

8. Fe₂O₃ + 3CO → (nhiệt độ) 2Fe + 3CO₂

9. Fe + Cl₂ → (nhiệt độ) FeCl₃

b/    Al → Al₂O₃  →  AlCl₃ → Al(OH)₃ → Al₂O₃  → Al → NaAlO₂

1. 4Al + 3O₂ → (nhiệt độ) 2Al₂O₃

2. Al₂O₃ + 6HCl → 2AlCl₃ + 3H₂O

3. 2AlCl₃ + 3Ca(OH)₂ → 2Al(OH)₃ + 3CaCl₂

4. 2Al(OH)₃ → (nhiệt độ) Al₂O₃ + 3H₂O

5. 2Al₂O₃ → (nhiệt độ) 4Al + 3O₂

6. 2Al + 2H₂O + 2NaOH → 2NaAlO₂ + 3H₂

Ta cóa : \(20x^6-\left(8-40y\right)x^3+25y^2-5\)

\(=20x^6-8x^3+40x^3y+25y^2-5\)

\(=16x^6+40x^3y+25y^2+4x^6-8x^3+4-9\)

\(=\left(4x^3+5y\right)^2+4\left(x^3-1\right)^2-9\)

Ta thấy ngay \(\left(4x^3+5y\right)^2\ge0;4\left(x^3-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(4x^3+5y\right)^2+4\left(x^3-1\right)^2-9\ge-9\)

\(\Rightarrow M=\frac{6}{20x^6-\left(8-40y\right)x^3+25y^2-5}\le\frac{6}{-9}=-\frac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}4x^3+5y=0\\x^3-1=0\end{cases}\Leftrightarrow x=1;y=-\frac{4}{5}}\)