Ta có: \(x^2y^2+x^2+y^2+4xy=73\)

<=>  \(\left(x^2y^2+4xy+4\right)+x^2+y^2=77\)

<=> \(\left(xy+2\right)^2+x^2=77-y^2\) (1)

Do \(\left(xy+2\right)^2+x^2\ge0\) => \(77-y^2\ge\)0 => \(y^2\le77\)

Do y nguyên và y² là số chính phương => y² \(\in\){0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64}

=> \(y\in\left\{0;\pm1;\pm2;\pm3;\pm4;\pm5;\pm6;\pm7;\pm8\right\}\)

thay y vào pt (1) ... (tự làm)

Hoặc C2:

\(x^2y^2+x^2+y^2+4xy=73\)

<=> \(\left(x^2y^2+2xy+1\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)=74\)

<=> \(\left(xy+1\right)^2+\left(x+y\right)^2=74=5^2+7^2\)

Xét các TH xảy ra: 

+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=5\\x+y=7\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=-5\\x+y=7\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=5\\x+y=-7\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=-5\\x+y=-7\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=7\\x+y=5\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=-7\\x+y=5\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=7\\x+y=-5\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=-7\\x+y=-5\end{cases}}\)

(Tự tính)

B2:

3) \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2019}+\sqrt{2020}}\)

\(=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+...+\frac{\sqrt{2020}-\sqrt{2019}}{2020-2019}\)

\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-2+...+\sqrt{2020}-\sqrt{2019}\)

\(=\sqrt{2020}-1\)

Bài làm:

đk: \(x\ge3\)

Pt <=> \(\left(\sqrt{x-\sqrt{2x-5}-4}+\sqrt{x+\sqrt{2x-5}-4}\right)^2=\left(\sqrt{2}\right)^2\)

<=> \(x-\sqrt{2x-5}-4+x+\sqrt{2x-5}-4+2\sqrt{\left(x-4\right)^2-2x+5}=2\)

<=> \(2x-10=-2\sqrt{x^2-4x+4-2x+5}\)

<=> \(2x-10+2\sqrt{x^2-6x+9}=0\)

<=> \(2x-10+2\sqrt{\left(x-3\right)^2}=0\)

<=> \(2\left|x-3\right|=10-2x\)

<=> \(\left|x-3\right|=5-x\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=5-x\\x-3=x-5\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x=8\\0x=-2\left(∄x\right)\end{cases}\Rightarrow}x=4\)

Bài làm:

a) Ta có: \(AB^2+AC^2=4^2+3^2=25=5^2=BC^2\)

=> Tam giác ABC vuông tại A

Đường cao AH, tính các cạnh còn lại?? Tính AH,HB,HC chăng?

Ta có: \(AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{12}{5}\left(cm\right)\)

\(HB=\frac{AB^2}{BC}=\frac{16}{5}\left(cm\right)\)

\(HC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{9}{5}\left(cm\right)\)

b) Vì AD là phân giác ABC 

=> \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}\Rightarrow BD=\frac{4}{3}DC\)

Mà \(BD+DC=BC\)

\(\Leftrightarrow\frac{4}{3}DC+DC=5\)

\(\Leftrightarrow DC=\frac{15}{7}\left(cm\right)\Rightarrow BD=\frac{20}{7}\left(cm\right)\)

Bài toán số 41 có 2 cách làm, tôi làm cách thứ 2

Đặt \(Q=\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\)\(\Rightarrow Q^2=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+2\left(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\right)\)ta thấy rằng \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+\frac{xyz}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có \(\sqrt{\frac{yx}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}\ge\frac{2yx}{2\sqrt{\left(xy+yz\right)\left(yz+yx\right)}}\ge\frac{2xy}{2xy+yz+xz}\ge\frac{2xy}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xy}{xy+yz+zx}\)

Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\ge\frac{yz}{xy+yz+zx}\\\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge\frac{xz}{xy+yz+zx}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge1\)nên \(Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+2}\)

\(\Rightarrow Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)

Đặt \(t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\Rightarrow t\ge\sqrt{xy+yz+zx}=2\)

Xét hàm số g(t)=\(\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}+\frac{4}{t}\left(t\ge2\right)\)khi đó ta có 

\(g'\left(t\right)=\frac{t}{2\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}}-\frac{4}{t^2};g'\left(t\right)=0\Leftrightarrow t^6-32t^2-256=0\Leftrightarrow t=2\sqrt{2}\)

Lập bảng biến thiên ta có min[2;\(+\infty\)) \(g\left(t\right)=g\left(2\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}\)

Hay minS=\(3\sqrt{2}\)<=> a=c=1; b=2

Đặt a=xc; b=cy (x;y >=1)

• Thay x=1 vào giả thiết ta có \(\sqrt{b-c}=\sqrt{b}\Rightarrow c=0\) (không thỏa mãn vì c>0)
• Thay y=1 vào giả thiết ta có \(\sqrt{a-c}=\sqrt{a}\Rightarrow c=0\)( không thỏa mãn vì c>0)
• Xét x,y>1 thay vào giả thiết ta có

\(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{xy}\Leftrightarrow x+y-2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=xy\)

\(\Leftrightarrow xy-x-y+1-2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=1\Leftrightarrow xy=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\ge4\)

Biểu thức P được viết lại như sau

\(P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}\)

\(P\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\frac{xy}{3}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2y^2-2xy}=\frac{x^3y^3-2x^2y^2+3xy-3}{3\left(x^2y^2-2xy\right)}\)

Đặt t=xy với t>=4

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^3-2t^2+3t-3}{t^2-2t}\left(t\ge4\right)\)

Ta có \(f'\left(t\right)=\frac{t^4-4t^3+t^2+6t-6}{\left(t^2-2t\right)^2}=\frac{t^3\left(t-4\right)+6\left(t-4\right)+18}{\left(t^2-2t\right)^2}>0\forall t\ge4\)

Lập bảng biến thiên ta có \(minf\left(t\right)=f\left(4\right)=\frac{41}{8}\)

Vậy \(minP=\frac{41}{24}\)khi x=y=z=2 hay a=b=2c

Đề có phải là : ' Từ 80 tấn quặng Pirit chứa 40% lưu huỳnh , người ta sản xuất được 73,5 tấn axit sunfuric . '' đúng không 

không phải

a) sinα=0,25sinα=0,25

*     Cách dựng: hình a

−     Dựng góc vuông xOy.

−     Trên tia Ox dựng đoạn OA bằng 1 đơn vị dài.

−  Dựng cung tròn tâm A bán kính 4 đơn vị dài và cắt Oy tại B.

−     Nối AB ta được ˆOBA=αOBA^=α cần dựng.

*  Chứng minh: ta có: sinα=sinˆOBA=OAAB=14=0,25

Dựng đoạn thẳng BC. Từ B dựng nửa đường thẳng Bx vuông góc với BC

Dùng compa lấy C làm tâm dựng đường tròn bán kính = 2,5.BC, đường tròn cắt nửa đường thẳnng Bx tại A

=> sin ^BAC = sin a = 0,4