Cho tam giác ABC với các đường trung tuyến thoã mãn:\(\frac{c}{b}\ne\frac{m_b}{m_c}\ne1\)

(mb, mc là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ B, C)

CMR: 2cotA = cotB + cotC

Cho tam giác ABC thỏa mãn \(\frac{m_b}{m_c}=\)\(\frac{c}{b}\)\(\ne1\)

(mb,mc là độ dài trung tuyến từ B,C

CMR \(2a^2=b^2+c^2\)

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x + y + xyz = z. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

\(P=\frac{2x}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}+\frac{x^2\left(1+\sqrt{yz}\right)^2}{\left(y+z\right)\left(x^2+1\right)}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left|4x-3\right|+\left|5y+\frac{15}{2}\right|+\frac{35}{2}.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=-6-\frac{24}{2\left|x-2y\right|+3\left|2x+1\right|+6}.\)

Tìm giá trị của x,y sao cho biểu thức \(P=\frac{2}{3}-\frac{21}{\left(x+3y\right)^2+5\left|x+5\right|+14}.\) đạt giá trị nhỏ nhất

Cho x,y là các số thực sao cho \(x-2y+2=2\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-2y}\right).\). Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x - 2y. Tính M + m

Cho x,y là các số thực sao cho \(2x^2+y^2+xy\ge1\) . Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=x^2+y^2\) có dạng \(\frac{a-b\sqrt{b}}{c}\)

trong đó a,b,c là các số nguyên dương. Tính tổng S = a + b + c

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(x\left(3-xy-xz\right)+y+6z\le5xz\left(y+z\right).\) .  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

P = 6x + 2y + 12z

Cho bốn số thực a,b,x,y bất kì đồng thời thỏa mãn các điều kiện : \(x\ge a\ge0,y\ge b\ge0\)  và \(\frac{x-y}{2}=\frac{a-b}{3}\) . . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (x + 2a)(y + 2b) theo a và b