1+tan^2 x = 1/cos^2 x

=> 1+ t^2 = 1/cos^2 x

=> 3 + 3t^2 = 3/cos^2 x

PT TRỞ THÀNH :

3 + 3t^2 - 2t + 1 = 0

<=> 3t^2 - 2t + 4 = 0

Living in a smart city offers a myriad of benefits that significantly enhance the quality of life. The integration of advanced technologies in urban infrastructure fosters efficiency and sustainability. Smart cities leverage data analytics and the Internet of Things (IoT) to optimize various aspects of daily living, from traffic management to waste disposal. This results in reduced congestion, lower pollution levels, and improved overall environmental sustainability. Additionally, smart cities often boast enhanced public services, such as efficient public transportation systems and responsive emergency services. Residents can enjoy the convenience of connected technologies, including smart homes and digital services, contributing to a more streamlined and interconnected community. Ultimately, the smart city concept not only enhances urban living but also promises a more sustainable, efficient, and enjoyable lifestyle for its inhabitants.

\(lim\left(\dfrac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}\right)=lim\dfrac{1}{n\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}+1\right)}=0\)

a, Xét (ABCD) có AC giao BD = O 

Xét (SAC);(SBD) có 

S là điểm chung t1; O là điểm chung t2 

=> SO là giao tuyến 2 mp trên 

b, Xét tam giác SDC có PN là đường tb tam giác 

=> NP // SC ; SC \(\subset\)(SBC) 

=> NP // (SBC) 

b, Xét (ABCD) kẻ MN cắt AD tại K 

Do K thuộc AD => K \(\subset\)(SAD) 

=> PK giao SA tại Q

Xét tam giác MNC và tam giác KND có 

^NMC = ^KND (sole) ; NC = ND (N là trung điểm); ^MNC = ^KND = ^KND (đối đỉnh) 

=> tam giác MNC = tam giác KND (g.c.g) 

=> DK = MC  (2 cạnh tương ứng) 

=> \(\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{AD+DK}{AD}=\dfrac{AD+MC}{AD}=\dfrac{AD+\dfrac{BC}{2}}{AD}=\dfrac{AD+\dfrac{AD}{2}}{AD}=\dfrac{3}{2}\)

Do AD = BC ( ABCD là hbh) 

Xét tam giác DSC có \(\dfrac{DP}{SP}=\dfrac{DN}{NC}=1\)theo Ta lét, N là trung điểm DC

Theo Menelaus ta có 

\(\dfrac{SQ}{SA}.\dfrac{AI}{AD}.\dfrac{DP}{SP}=1\Leftrightarrow\dfrac{SQ}{SA}.\dfrac{3}{2}=1\Leftrightarrow\dfrac{SQ}{SA}=\dfrac{2}{3}\)

a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Xét hai mp $(SAC)$ và $(SBD)$ có

   $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng.

   $O\in AC\subset \left(SAC\right)$

   $O\in BD\subset \left(SBD\right)$

Suy ra $O$ là điểm chung của hai mặt phẳng.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SO$.

$\begin{array}{l}NP\subset \left(SBC\right)\\ NP\text{//}SC\\ SC\subset \left(SBC\right)\end{array}$

$\Rightarrow NP$ // $\left(SBC\right).$

⎧​​NP⊂(SBC)NP // SCSC⊂(SBC)​

$\Rightarrow NP$ // $\left(SBC\right).$

b) Gọi E là giao AC và MN

Có: NP//SC;EQ là giao tuyển của (PMN) và (SAC) 

$\Rightarrow IQ$ // ��⇒����=����SC=> \(\dfrac{CI}{CA}\)=\(\dfrac{SQ}{SA}\)

Mà CI=\(\dfrac{1}{4}CA\)

=>\(\dfrac{SQ}{SA}=\dfrac{CI}{CA}=\dfrac{1}{4}\)

Do mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước đó

Nên ta có cấp số nhân : \(u_1=20000,q=2\) ( Với \(u_1\) tính bằng đồng )

Số tiền người đó thua là tổng của 9 số hạng đầu tiên cấp số nhân 

\(S_9=\dfrac{u_1.\left(1-q^9\right)}{1-q}=\dfrac{20000\left(1-2^9\right)}{1-2}=10220000\) (đồng)

Số tiền người đó thắng là số hạng thứ 10 của cấp số nhân

\(u_{10}=u_1.q^{10-1}=20000.2^9=10240000\) (đồng)

Vì : \(10240000>10220000\) nên du khách đã thắng trong vụ cược này

Số tiền thắng : \(10240000-10220000=20000\) (đồng)

Số tiền du khác đặt trong mỗi lần là một cấp số nhân có $u^1=20000$ và công bội $q=2.$

Du khách thua trong $9$ lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là: $S^9=u^1+u^2+...+u^9=\genfrac{}{}{0ex}{}{u^1\left(1-p^9\right)}{1-p}=10220000$.

Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ $10$ là $u^{10}=u^1.p^9=10240000$.

Ta có $u^{10}-S^9=20000>0$ nên du khách thắng $20$ $000$.