\(U_n=\dfrac{\left(n^2-1\right)}{n\left(n+2\right)}U_{n-1}\Rightarrow n\left(n+2\right).U_n=\left(n-1\right)\left(n+1\right).U_{n-1}\)

Đặt \(n\left(n+2\right).U_n=V_n\Rightarrow V_{n-1}=\left(n-1\right)\left(n+2-1\right).U_{n-1}=\left(n-1\right).\left(n+1\right)U_{n-1}\)

\(\Rightarrow V_n=V_{n-1}\)

\(\Rightarrow V_n=V_{n-1}=V_{n-2}=...=V_1\)

Có \(V_1=1.\left(1+2\right).U_1=1\)

\(\Rightarrow V_n=1\)

\(\Rightarrow U_n=\dfrac{V_n}{n\left(n+2\right)}=\dfrac{1}{n\left(n+2\right)}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{2015.2017}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{2017}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2016}-\dfrac{1}{2017}\right)\)

\(=...\)

\(f\left(x\right)=6x^3-7x^2-16x+m\)

Do \(f\left(x\right)\) chia hết \(2x-5\), theo định lý Bezout:

\(f\left(\dfrac{5}{2}\right)=0\Rightarrow6.\left(\dfrac{5}{2}\right)^3-7.\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-16.\left(\dfrac{5}{2}\right)+m=0\)

\(\Rightarrow m=-10\)

Khi đó  \(f\left(x\right)=6x^3-7x^2-16x-10\)

Số dư phép chia cho \(3x-2\):

\(f\left(\dfrac{2}{3}\right)=6.\left(\dfrac{2}{3}\right)^3-7.\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-16.\left(\dfrac{2}{3}\right)-10=-22\)

$f\left(x\right)=6x^3-7x^2-16x+m$

Do $f\left(x\right)$ chia hết $2x-5$, theo định lý Bezout:

$f\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=0\Rightarrow 6.{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}^3-7.{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}^2-16.\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)+m=0$

$\Rightarrow m=-10$

Khi đó  $f\left(x\right)=6x^3-7x^2-16x-10$

Số dư phép chia cho $3x-2$:

$f\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}\right)=6.{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}\right)}^3-7.{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}\right)}^2-16.\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}\right)-10=-22$

Lời giải:

\(\frac{1719}{3976}=\frac{1}{2+\frac{538}{1719}}=\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{105}{538}}}=\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{5+\frac{13}{105}}}}=\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{5+\frac{1}{8+\frac{1}{13}}}}}\)

$\Rightarrow a=8; b=13$

\(\dfrac{1719}{3976}=\dfrac{1}{\dfrac{3976}{1719}}=\dfrac{1}{2+\dfrac{538}{1719}}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{\dfrac{1719}{538}}}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\dfrac{105}{538}}}\)

\(=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{\dfrac{538}{105}}}}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{5+\dfrac{13}{105}}}}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{\dfrac{105}{13}}}}}\)

\(=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{8+\dfrac{1}{13}}}}}\)

ĐKXĐ: \(0< x< 4\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2+\sqrt{x}}=a>0\\\sqrt{2-\sqrt{x}}=b\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{\sqrt{2}+a}+\dfrac{b^2}{\sqrt{2}-b}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow a^2\sqrt{2}-a^2b+ab^2+b^2\sqrt{2}=2\sqrt{2}-2b+2a-ab\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(a^2+b^2\right)-ab\left(a-b\right)=2\sqrt{2}+2\left(a-b\right)-ab\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}+ab\sqrt{2}-ab\left(a-b\right)-2\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(ab+2\right)-\left(a-b\right)\left(ab+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2}-a+b\right)\left(ab+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}-a+b=0\) (do \(ab\ge0\Rightarrow ab+2>0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{2+\sqrt{x}}-\sqrt{2-\sqrt{x}}=\sqrt{2}\)

Hiển nhiên \(2+\sqrt{x}\ge2-\sqrt{x}\) nên:

\(\Leftrightarrow2+\sqrt{x}+2-\sqrt{x}-2\sqrt{4-x}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4-x}=1\)

\(\Rightarrow x=3\)

Đổi 1h30' = 1,5h

2h6' = 2,1h

Tốc độ xuôi dòng của cano là:

\(42:1,5=28\)\((km/h)\)

Tốc độ ngược dòng của cano là:

\(42:2,1=20(km/h)\)

Tốc độ khi nước yên lặng là

\(\left(28+20\right):2=24\) \((km/h)\)

Tốc độ dòng nước là: 

\(28 - 24 = 4(km/h)\)

Đáp số:...

UP 

Gọi tỉ lệ cắt giảm mỗi năm của công ty là \(x\left(\%\right)\) hay \(\dfrac{x}{100}\) với \(0\le x\le100\)

Số công nhân còn lại sau năm thứ nhất là:

\(10000\left(1-\dfrac{x}{100}\right)\)

Số công nhân còn lại sau năm thứ hai là:

\(10000.\left(1-\dfrac{x}{100}\right)\left(1-\dfrac{x}{100}\right)=10000.\left(1-\dfrac{x}{100}\right)^2\)

Do sau 2 năm công ty còn lại 9000 công nhân nên:

\(10000\left(1-\dfrac{x}{100}\right)^2=9000\)

\(\Rightarrow1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\Rightarrow x=100-30\sqrt{10}\) (%)\(\approx5,13\left(\%\right)\)

a. 

- Với \(y\ge0\Rightarrow x^2+2y\ge0\) với mọi x \(\Rightarrow\) hệ vô nghiệm do \(-2< 0\)

- Với \(y< 0\Rightarrow\left|y\right|=-y\), hệ tương đương:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2y=-2\\3x^2-y=15\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+2y=-2\\6x^2-2y=30\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+2y=-2\\7x^2=28\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=4\\y=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm2\\y=-3\end{matrix}\right.\)

b.

Gọi số chính phương cần tìm là \(n^2\) với n là số tự nhiên, do \(n^2\) có 4 chữ số

\(\Rightarrow999< n^2< 10000\Rightarrow31< n< 100\)

Do khi cộng số cần tìm với 2023 ta cũng được 1 SCP

\(\Rightarrow n^2+2023=m^2\) (với m tự nhiên và \(m>n\))

\(\Rightarrow m^2-n^2=2023\)

\(\Rightarrow\left(m-n\right)\left(m+n\right)=2023\) 

Ta chỉ cần xét các cặp ước của 2023 mà \(m+n>m-n\)

Do \(31< n< 100\) nên chỉ có \(n=51\) thỏa mãn

Vậy số cần tìm là \(51^2=2601\)