Lời giải:

Giả sử ta xếp ngẫu nhiên 10 số tự nhiên đó với ký hiệu là $a_1,a_2,a_3,..., a_{10}$

Giả sử không tồn tại 3 số tự nhiên liền kề nhau có tổng lớn hơn hoặc bằng 17, tức là tổng 3 số liền kề bất kỳ luôn $\leq 16$

Khi đó:

$a_1+a_2+a_3\leq 16$

$a_2+a_3+a_4\leq 16$

$a_3+a_4+a_5\leq 16$

..............

$a_8+a_9+a_{10}\leq 16$

$a_9+a_{10}+a_1\leq 16$

$a_{10}+a_1+a_2\leq 16$

Cộng theo vế các BĐT trên lại và thu gọn:

$3(a_1+a_2+...+a_{10})\leq 16.10$

$\Leftrightarrow 3(1+2+3+...+10)\leq 160$

$\Leftrightarrow 165\leq 160$ (vô lý)

Do đó điều giả sử là sai. Tức là tồn tại ít nhất 3 số liền kề có tổng $\geq 17$.

\(\dfrac{\left(x-5\right)}{x+5}-\dfrac{2x}{x-5}=\dfrac{x\left(x+10\right)}{25-x^2}\)

\(\dfrac{\left(x-5\right)}{5+x}+\dfrac{2x}{5-x}=\dfrac{x\left(x+10\right)}{25-x^2}\)

\(\dfrac{\left(x-5\right)^2}{25-x^2}+\dfrac{2x\left(x+5\right)}{25-x^2}=\dfrac{x^2+10x}{25-x^2}\)

\(\dfrac{x^2-10x+25}{25-x^2}+\dfrac{2x^2+10x}{25-x^2}-\dfrac{x^2+10x}{25-x^2}=0\)

\(\dfrac{x^2-10x+25+2x^2+10x-x^2-10x}{25-x^2}=0\)

\(\dfrac{25-10x}{25-x^2}=0\)

\(25-10x=0\)

\(10x=25\)

\(x=\dfrac{25}{10}=\dfrac{5}{2}\)

VD3:

Xét ΔADB vuông tại A và ΔDCA vuông tại D có

\(\widehat{ADB}=\widehat{DCA}\left(=90^0-\widehat{DAC}\right)\)

Do đó: ΔADB~ΔDCA

=>\(\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{AD}\)

=>\(AD^2=AB\cdot CD\)

=>\(CD=\dfrac{20^2}{16}=25\left(cm\right)\)

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó:ΔAEB~ΔAFC

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{EB}{FC}\)

b: Ta có: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

\(\widehat{EAF}\) chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

a: Xét ΔDBE và ΔDEF có

\(\dfrac{DB}{DE}=\dfrac{DE}{DF}\left(\dfrac{3}{6}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\widehat{BDE}\) chung

Do đó: ΔDBE~ΔDEF

b: Xét ΔDEF có DA là phân giác

nên \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{DE}{DF}\)

=>\(AE\cdot DF=AF\cdot DE\)

1: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\widehat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB~ΔAEC

=>\(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

=>\(AD\cdot AC=AB\cdot AE\)

2: Xét ΔADE và ΔABC có

\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

\(\widehat{DAE}\) chung

Do đó: ΔADE~ΔABC