Ta có \(\dfrac{1}{\left(a+1\right)\sqrt{a}+a\sqrt{a+1}}\) 

\(=\dfrac{1}{\sqrt{a\left(a+1\right)}\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a}\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{\sqrt{a\left(a+1\right)}\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{\sqrt{a\left(a+1\right)}}\) 

(vì \(\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\right)=\left(a+1\right)-a=1\))

\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}}-\dfrac{1}{\sqrt{a+1}}\)

Do đó \(B=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}}-\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)

\(=1-\dfrac{1}{10}\)

\(=\dfrac{9}{10}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=27y^3+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=\left(3y+1\right)\left(9y^2-3y+1\right)\)

Gọi \(d=ƯC\left(3y+1;9y^2-3y+1\right)\)

\(\Rightarrow3y\left(3y^2+1\right)-\left(9y^2-3y+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow6y-1⋮d\)

\(\Rightarrow2\left(3y+1\right)-\left(6y-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3⋮d\)

Mà \(3y+1⋮d\Rightarrow d\ne3\) 

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow3y+1\) và \(9y^2-3y+1\) nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow3y+1\) và \(9y^2-3y+1\) đều là SCP

\(\Rightarrow9y^2-3y+1=n^2\)

\(\Leftrightarrow36y^2-12y+4=4n^2\)

\(\Leftrightarrow\left(6y-1\right)^2+3=\left(2n\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n+6y-1\right)\left(2n-6y+1\right)=3\)

\(\Rightarrow y=0\Rightarrow x=\left\{0;2\right\}\)

Do BC là đường kính (O) và D thuộc (O) \(\Rightarrow\widehat{BDC}\) là góc nt chắn nửa đường tròn (O)

\(\Rightarrow\widehat{BDC}=90^0\Rightarrow\widehat{BDA}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{HDA}=90^0\)

Chứng minh tương tự ta có \(\widehat{HEA}=90^0\)

\(\Rightarrow\) 2 điểm D và E cùng nhìn AH dưới 1 góc vuông nên tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn đường kính AH

a.

\(sđ\stackrel\frown{AB}=\widehat{AOB}=60^0\)

Do BD là đường kính và A thuộc đường tròn \(\Rightarrow\widehat{DAB}\) là góc nt chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{DAB}=90^0\)

b.

Do B là điểm chính giữa chung AM

\(\Rightarrow sđ\stackrel\frown{AB}=sđ\stackrel\frown{MB}\)

\(\Rightarrow AB=MB\)

Gọi chiều rộng khu vườn là x(m)

(ĐK: x>0)

Chiều dài khu vườn là x+6(m)

Chiều dài khi tăng 5m là x+6+5=x+11(m)

Chiều rộng khu vườn khi tăng thêm 3m là x+3(m)

Diện tích tăng thêm 113m² nên ta có phương trình:
(x+11)*(x+3)-x(x+6)=113

=>\(x^2+14x+33-x^2-6x=113\)

=>8x=113-33=80

=>x=10(nhận)

Vậy: Chiều rộng ban đầu là 10m

Chiều dài ban đầu là 10+6=16m

= 0 vì số nào nhân với 0 cũng bằng 0

= 0 

a.

Do MA là tiếp tuyến \(\Rightarrow MA\perp OA\)

\(\Rightarrow M,A,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính OM

Do MB là tiếp tuyến \(\Rightarrow MB\perp OB\)

\(\Rightarrow M,B,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính OM

\(\Rightarrow\) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính OM

Do OM là đường kính nên tâm đường tròn là trung điểm OM.

b.

Do MAOB nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AOB}+\widehat{AMB}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=180^0-120^0=60^0\) (1)

Lại có M là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và B

\(\Rightarrow MA=MB\)

\(\Rightarrow\Delta AMB\) cân tại M (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\Delta AMB\) đều (tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ)

c.

Xét hai tam giác MAC và MDA có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMC}\text{ chung}\\\widehat{MAC}=\widehat{MDA}\left(\text{cùng chắn AC}\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\Delta MAC\sim\Delta MDA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}\Rightarrow MC.MD=MA^2\)

a: Xét (O) có

\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

Do đó: \(sđ\stackrel\frown{BC}=\widehat{BOC}=2\cdot\widehat{BAC}=120^0\)

b: M là điểm chính giữa của cung BC

=>\(sđ\stackrel\frown{MB}=sđ\stackrel\frown{MC}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{BC}}{2}=60^0\)

Xét (O) có \(\widehat{AIB}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AB và MC

nên \(\widehat{AIB}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(sđ\stackrel\frown{AB}+sđ\stackrel\frown{MC}\right)\)

=>\(\widehat{AIB}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AB}+sđ\stackrel\frown{MB}\right)=\dfrac{1}{2}\left(100^0+60^0\right)=80^0\)

Xét (O) có

\(\widehat{AMC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{AMC}=\widehat{ABC}=70^0\)

=>\(\widehat{AIB}>\widehat{AMC}\)

a) \(P=\dfrac{x}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}-\dfrac{y}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}-\dfrac{xy}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}\)

ĐK: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0;y\ge0\\\sqrt{x}+\sqrt{y}\ne0\\\sqrt{x}+1\ne0\\1-\sqrt{y}\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0;y\ge0\\x^2+y^2>0\\y\ne1\end{matrix}\right.\) 

\(P=\dfrac{x\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{y\left(1-\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{x\sqrt{x}+x-y+y\sqrt{y}-xy\sqrt{x}-xy\sqrt{y}}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{\left(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\right)+\left(x-y\right)-\left(xy\sqrt{x}+xy\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)-xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y+\sqrt{x}-\sqrt{y}-xy\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{\left(x-xy\right)+\left(-\sqrt{y}+y\right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{xy}\right)}{\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{x\left(1-y\right)-\sqrt{y}\left(1-\sqrt{y}\right)+\sqrt{x}\left(1-\sqrt{y}\right)}{\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{x\left(1-\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{y}\right)-\sqrt{y}\left(1-\sqrt{y}\right)+\sqrt{x}\left(1-\sqrt{y}\right)}{\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{\left(1-\sqrt{y}\right)\left(x+x\sqrt{y}-\sqrt{y}+\sqrt{x}\right)}{\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{x+x\sqrt{y}-\sqrt{y}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)   

\(P=\dfrac{\left(x+\sqrt{x}\right)+\left(x\sqrt{y}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+1}\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)+\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}+1}\)

\(P=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{xy}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+1}\)

\(P=\sqrt{x}+\sqrt{xy}-\sqrt{y}\)

b) \(P=2\) khi: 

\(\sqrt{x}+\sqrt{xy}-\sqrt{y}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+1\right)-\sqrt{y}-1=2-1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+1\right)-\left(\sqrt{y}+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)=1\)

Mà: x,y là nguyên \(\Rightarrow\sqrt{x}-1,\sqrt{y}+1\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

Mặt khác: \(\sqrt{y}+1\ge1\) nên ta có:

\(\sqrt{y}+1=1\Leftrightarrow y=0\) (tm)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\) (tm) 

Vậy: \(\left(x;y\right)=\left(4;0\right)\)