Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong hình bên là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình: ^{\(\dfrac{x^2}{16}\)} + \(\dfrac{y^2}{4}\) = 1. Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ của bản vẽ thiết kế ứng với 30cm trên thực tế. Tính chiều cao h của ô thoáng tại điểm cách điểm chính của đế ô thoáng 75cm.

Thầy cô giải giúp em bài toán này với ạ. Em cảm ơn các thầy cô ạ

Để chứng minh rằng \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \), ta bắt đầu từ phương trình \( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 3 \):

\( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 3 \)

Nhân cả hai vế với \(xy\), ta có:

\(x^2 + y^2 = 3xy\)

Tiếp theo, ta nhân cả hai vế của phương trình thứ hai \( \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 10 \) với \(x + y\), ta có:

\(x^3 + y^3 + xy(x + y) = 10(x + y)\)

Vì \(x \neq 0\) và \(y \neq 0\), nên \(x + y \neq 0\). Ta có thể chia cả hai vế cho \(x + y\):

Xin lỗi về sự gián đoạn. Bây giờ chúng ta có hai phương trình:

1. \(x^2 + y^2 = 3xy\)

2. \(x^3 + y^3 + xy = 10\)

Ta có thể thay \(x^2 + y^2\) từ phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai:

\(x^3 + y^3 + 3xy = 10\)

Lưu ý rằng \(x\) và \(y\) khác 0. Ta có thể chia cả hai vế cho \(xy\) mà không làm mất tính chất của phương trình:

\(\frac{x^3}{xy} + \frac{y^3}{xy} + 3 = \frac{10}{xy}\)

\(\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} + 3 = \frac{10}{xy}\)

Thay \(x^2/y + y^2/x\) từ phương trình ban đầu vào, ta có:

\(3 + 3 = \frac{10}{xy}\)

\(6 = \frac{10}{xy}\)

Từ đó, ta có \(xy = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\).

Cuối cùng, ta có thể thay \(xy\) trở lại vào phương trình ban đầu:

\(x^2 + y^2 = 3 \cdot \frac{5}{3}\)

\(x^2 + y^2 = 5\)

Bây giờ, ta có thể sử dụng bổ đề Pythagoras: \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy\).

Ta biết rằng \(x^2 + y^2 = 5\) và \(xy = \frac{5}{3}\). Vậy nên:

\(5 = (x + y)^2 - 2 \cdot \frac{5}{3}\)

\(5 = (x + y)^2 - \frac{10}{3}\)

\(15 = 3(x + y)^2 - 10\)

\(25 = 3(x + y)^2\)

\(x + y = \pm \sqrt{\frac{25}{3}} = \pm \frac{5}{\sqrt{3}} = \pm \frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Do \(x\) và \(y\) không thể bằng 0, nên \(x + y\) không thể bằng 0. Vậy nên:

\(x + y = \frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Và từ đó:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy} = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{3}}{\frac{5}{3}} = 1\)

Vậy nên, chúng ta đã chứng minh được \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \).

\(x^3 + y^3 +