-\(\infty\)

-\(\infty\);4

= lim x->2 \(\frac{4x+1-9}{\left(x^2-4\right)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}\)

= lim x->2 \(\frac{4\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}\)

= lim x->2 \(\frac{4}{\left(x+2\right)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}\)

= lim x->2 \(\frac{4}{4.6}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}\)

hôm trước thầy có ghi kết quả của trọng tâm tứ diện nên mình lấy kết quả đó để chứng minh luôn nhá

Gọi G là trọng tâm tứ diện. G chỉ được gọi là trọng tâm tứ diện <=> thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1. \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\) ( hoàn toàn tương tự với vecto trọng tâm tác giác ta đã được học ở lớp 10 )

2. \(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=4\overrightarrow{PG}\) ( với mọi P )

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD ( tự vẽ hình không khó đâu t vẽ ở olm thì nó mất time )

1. Ta có: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}\) 

            \(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}\)

Tương đương: \(2\left(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}\right)=\overrightarrow{0}\) hay G là trung điểm của MN

Gọi H và K lần lượt là trung điểm của BC và AD

hoàn toàn chứng minh tương tự ta cũng có G là trung điểm của HK :) 

Tao có: \(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}\right)=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}\)

\(=\frac{1}{2}\left(CB^2+CD^2-BD^2\right)-\frac{1}{2}\left(CB^2+CA^2-AB^2\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(AB^2+CD^2-BD^2-CA^2\right)\)

\(\Rightarrow\cos\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{DA}\right)=\frac{1}{2}.\frac{c^2+c'^2-b^2-b'^2}{2aa'}\)