1: BC=BH+CH=4+9=13(cm)

Xét ΔHAB vuông tại H và ΔACB vuông tại A có

\(\widehat{HBA}\) chung

Do đó: ΔHAB~ΔACB

=>\(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC=4\cdot13=52\)

=>\(BA=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=13^2-\left(2\sqrt{13}\right)^2=117\)

=>\(AC=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\left(cm\right)\)

2: ΔHAB~ΔACB

=>\(\dfrac{HA}{AC}=\dfrac{AB}{CB}\)

=>\(HA=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{2\sqrt{13}\cdot3\sqrt{13}}{13}=6\left(cm\right)\)

Xét tứ giác AKHE có \(\widehat{AKH}=\widehat{AEH}=\widehat{KAE}=90^0\)

nên AKHE là hình chữ nhật

=>AH=KE

=>KE=6(cm)

3: Xét ΔAKH vuông tại K và ΔAHB vuông tại H có

\(\widehat{HAB}\) chung

Do đó: ΔAKH~ΔAHB

=>\(\dfrac{AK}{AH}=\dfrac{AH}{AB}\)

=>\(AH^2=AK\cdot AB\left(1\right)\)

Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAHC vuông tại H có

\(\widehat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH~ΔAHC

=>\(\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AH}{AC}\)

=>\(AH^2=AE\cdot AC\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AK\cdot AB=AE\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

Xét ΔAKE vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

Do đó: ΔAKE~ΔACB

4: ta có: ΔABC vuông tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên IA=IC

=>ΔIAC cân tại I

=>\(\widehat{IAC}=\widehat{ICA}\)

ΔAKE~ΔACB

=>\(\widehat{AEK}=\widehat{ABC}\)

Ta có: \(\widehat{AEK}+\widehat{IAC}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>EK\(\perp\)AI tại N

1. Tính AB, AC:

• Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AHB:
  • AB² = AH² + HB²
  • AH² = AB² - HB²
• Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AHC:
  • AC² = AH² + HC²
  • AH² = AC² - HC²
• Từ hai phương trình trên, ta có: AB² - HB² = AC² - HC²
• Suy ra: AB² = AC² - HC² + HB²
• Thay số: AB² = AC² - 9² + 4² = AC² - 65
• Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC:
  • BC² = AB² + AC²
  • BC² = (AC² - 65) + AC² = 2AC² - 65
• Thay BC = HB + HC = 4 + 9 = 13
  • 13² = 2AC² - 65
  • 2AC² = 13² + 65 = 224
  • AC² = 112
  • AC = √112 = 4√7 cm
• Thay AC vào phương trình AB² = AC² - 65:
  • AB² = (4√7)² - 65 = 112 - 65 = 47
  • AB = √47 cm

2. Tính KE:

• Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AKE:
  • KE² = AK² + AE²
• Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AHB:
  • AK² = AH² - HK²
• Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AHC:
  • AE² = AH² - HE²
• Thay vào phương trình KE²:
  • KE² = (AH² - HK²) + (AH² - HE²) = 2AH² - (HK² + HE²)
• Ta có: HK + HE = BC = 13 cm
• Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông HKE:
  • KE² = HK² + HE² = (HK + HE)² - 2HK.HE = 13² - 2HK.HE
• Suy ra: 2AH² - (HK² + HE²) = 13² - 2HK.HE
• 2AH² = 13² + 2HK.HE
• AH² = (13² + 2HK.HE) / 2
• Thay AH² = AB² - HB²:
  • AB² - HB² = (13² + 2HK.HE) / 2
  • 2(AB² - HB²) = 13² + 2HK.HE
  • 2HK.HE = 2(AB² - HB²) - 13²
  • HK.HE = (AB² - HB²) - 13²/2
  • HK.HE = (47 - 4²) - 13²/2 = -65/2
• Vì HK và HE đều dương nên HK.HE = -65/2 là vô lý.
• Vậy, không thể tính KE bằng cách này.

3. Chứng minh AB.AK = AE.AC; AKE ~ ACB:

• Chứng minh AB.AK = AE.AC:
  • Xét tam giác vuông AHB và tam giác vuông AHC, ta có:
    • Góc BAH = Góc CAH (cùng bằng 90 độ)
    • Góc ABH = Góc ACH (cùng phụ với góc BAH)
  • Suy ra tam giác AHB đồng dạng với tam giác AHC (g-g)
  • Do đó: AB/AC = AH/AH = 1
  • Suy ra: AB = AC
  • Xét tam giác vuông AKE và tam giác vuông ACB, ta có:
    • Góc KAE = Góc CAB (cùng bằng 90 độ)
    • Góc AKE = Góc ACB (cùng phụ với góc KAE)
  • Suy ra tam giác AKE đồng dạng với tam giác ACB (g-g)
  • Do đó: AK/AC = AE/AB
  • Suy ra: AB.AK = AE.AC
• Chứng minh AKE ~ ACB:
  • Xét tam giác vuông AKE và tam giác vuông ACB, ta có:
    • Góc KAE = Góc CAB (cùng bằng 90 độ)
    • Góc AKE = Góc ACB (cùng phụ với góc KAE)
  • Suy ra tam giác AKE đồng dạng với tam giác ACB (g-g)

4. Chứng minh AI vuông góc KE tại N:

• Xét tam giác ABC:
  • I là trung điểm của BC nên AI là đường trung tuyến của tam giác ABC.
• Xét tam giác AKE:
  • N là giao điểm của AI và KE nên N là trọng tâm của tam giác AKE.
• Theo tính chất trọng tâm của tam giác:
  • Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
  • Do đó: AN = 2/3 AI
• Xét tam giác vuông AHI:
  • AI là đường trung tuyến của tam giác vuông AHI nên AI = 1/2 HI.
• Suy ra:
  • AN = 2/3 AI = 2/3 * (1/2 HI) = 1/3 HI
  • Do đó: IN = AI - AN = 1/2 HI - 1/3 HI = 1/6 HI
• Xét tam giác vuông HKE:
  • N là trung điểm của KE nên HN là đường trung tuyến của tam giác vuông HKE.
• Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông:
  • Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
  • Do đó: HN = 1/2 KE
• Suy ra:
  • IN = 1/6 HI = 1/2 HN
  • Do đó: HN = 3IN
• Xét tam giác HIN:
  • HN = 3IN nên tam giác HIN vuông tại I (định lý đảo của định lý Pytago).
• Kết luận:
  • AI vuông góc KE tại N.

Lưu ý:

• Trong bài toán này, không thể tính KE bằng cách sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuông HKE vì HK.HE là một số âm.
• Việc chứng minh AB.AK = AE.AC và AKE ~ ACB là cần thiết để chứng minh AI vuông góc KE tại N.
• Việc chứng minh AI vuông góc KE tại N là một ứng dụng của tính chất trọng tâm của tam giác và tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông.
•  

a) So với học sinh của cả lớp, 2 tổ chiếm:

\(\frac24\times100\%=50\%\)

b) Số học sinh của 2 tổ là:

\(36\times50\%=18\) (học sinh)

9hs

\(-1,25=-\dfrac{125}{100}=-\dfrac{5}{4}\)

 Ta có: \(\widehat{A_1}=\widehat{B_2}\) (theo giả thiết)

Mặt khác:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180^o\\\widehat{B_1}+\widehat{B_2}=180^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A_1}=180^o-\widehat{A_2}\\\widehat{B_2}=180^o-\widehat{B_1}\end{matrix}\right.\) (hai cặp góc kề bù)

Mà \(\widehat{A_1}=\widehat{B_2}\) nên:

\(\widehat{A_2}=\widehat{B_1}\) Vậy nếu 1 đường thẳng cắt 2 đường thẳng mà trong các góc tạo thành có 1 cặp góc so le trong bằng nhau thì các cặp góc so le trong còn lại cũng bằng nhau.

Giả sử \(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{B_2}\) là cặp góc so le trong đề bài cho.

Ta có: \(\widehat{A_1}=\widehat{B_2}\) (theo giả thiết)

Mặt khác:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180^o\\\widehat{B_1}+\widehat{B_2}=180^o\end{matrix}\right.\)(hai cặp góc kề bù)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A_1}=180^o-\widehat{A_2}\\\widehat{B_2}=180^o-\widehat{B_1}\end{matrix}\right.\)

Mà \(\widehat{A_1}=\widehat{B_2}\) nên:

\(\widehat{A_2}=\widehat{B_1}\) hay cặp góc so le trong còn lại bằng nhau

Vậy nếu 1 đường thẳng cắt 2 đường thẳng mà trong các góc tạo thành có 1 cặp góc so le trong bằng nhau thì cặp góc so le trong còn lại cũng bằng nhau.

∆ABC có:

AB = BC (gt)

⇒ ∆ABC cân tại B

⇒ ∠BAC = ∠BCA (1)

Do AC là tia phân giác của ∠BAD (gt)

⇒ ∠DAC = ∠BAC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∠BCA = ∠DAC

Mà ∠BCA và ∠DAC là hai góc so le trong

⇒ BC // AD

⇒ ABCD là hình thang

\(\dfrac{n^2-2n+5}{n+2}=\dfrac{n^2+2n-4n+5}{n+2}=n-\dfrac{4n-5}{n+2}\)

\(=n-\dfrac{4\left(n+2\right)-13}{n+2}=n-4-\dfrac{13}{n+2}\)

Do n - 4 nguyên => 13/n+2 nguyên 

\(n+2\inƯ\left(13\right)=\left\{\pm1;\pm13\right\}\)

Bạn xem lại dòng thứ ba, phải đối dấu thành: n - 4 + 13/(n+2) mới đúng nhé

Kho thứ nhất có số thóc là:

765 : (2 + 7) x 2 = 170 (tấn)

Tổng số thóc của kho thứ nhất và thứ 2 là:

765 - 170 = 595 (tấn)

Kho thứ nhất có số thóc là:

(595 - 95) : 2 = 250 (tấn)

Kho thứ 2 có số thóc là:

250 + 95 = 345 (tấn)

Đáp số: Kho thứ nhất: 250 tấn thóc

              Kho thứ hai: 345 tấn thóc

              Kho thứ ba: 170 tấn thóc

Kho thứ ba có số thóc là:

\(765:\left(2+7\right)\times2=170\) (tấn)

Tổng số thóc của kho thứ nhất và kho thứ hai là:

\(765-170=595\) (tấn)

Kho thứ nhất có số thóc là:

\(\left(595-95\right):2=250\) (tấn)

Kho thứ hai có số thóc là:

\(250+95=345\) (tấn)

Đáp số:...

Hàng nghìn có 4 cách chọn ( Là các số 5, 9, 4, 1)

Hàng trăm có 4 cách chọn (Vì khác nhau nên bỏ 1 số trong 4 số ở hàng nghìn nhưng nhận thêm 0 nên vẫn có 4 cách chọn)

Hàng chục có 3 cách chọn (Tương tự vì khác nhau nên số cách chọn giảm đi 1)

Hàng đơn vị có 2 cách chọn

Vậy lập được: 4x4x3x2=96 (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài

Phần mở ngoặc mình giải thích thêm cho bạn dễ hiểu nhé.

Cho 4 chữ số có dạng \(\overline{abcd}\)

Với a khác 0 

a có 4 cách chọn 

b có 4 cách chọn 

c có 3 cách chọn 

d có 2 cách chọn 

=> 96 cách chọn