Gọi tọa độ điểm $M$, $N$ lần lượt là $M\left(x_1;y_1\right),N\left(x_2;y_2\right)$.

Hệ số góc tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại $M$ và $N$ lần lượt là

$k_1=y^{\prime }\left(x_1\right)=-3{x_1}^2+6x_1-1$; $k_2=y^{\prime }\left(x_2\right)=-3{x_2}^2+6x_2-1$

Để tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại $M$ và $N$ luôn song song với nhau điều kiện là

$\{\begin{array}{c}{k}_1=k_2\\ x_1\ne x_2\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}\left(x_1-x_2\right)\left[-3\left(x_1+x_2\right)+6\right]=0\\ x_1\ne x_2\end{array}$$\iff x_1+x_2=2$.

Ta có:$y_1+y_2=-\left(x_1+x_2\right)\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2\right]+3\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]-\left(x_1+x_2\right)+8$

Do $x_1+x_2=2$ nên $y_1+y_2=-2\left(4-3x_1{x}_2\right)+3\left(4-2x_1{x}_2\right)+8=10$.

Trung điểm của đoạn $MN$ là $I\left(1;5\right)$. Vậy đường thẳng $MN$ luôn đi qua điểm cố định $I\left(1;5\right)$.

Ta có \(y'=-3x^2+6x-1\Rightarrow y^n=-6x+6;y^n=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow I\left(1;5\right)\) là điểm uốn của đồ thị (C)

G/s M (x_M;y_M); N(x_N;y_N) là 2 điểm di động trên (C)

Tiếp tuyển của (C) tại M,N song song với nhau

=> y'(x_M)=y'(x_N)

\(\Leftrightarrow-3x^2_M+6x_M-1=-3x_N^2+6x_N-1\)

\(\Leftrightarrow-3\left(x_M-x_N\right)\left(x_N+x_M\right)+6\left(x_M-x_N\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x_M+x_N}{2}=1\left(x_M\ne x_N\right)\)=> I là trung điểm MN

Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm I cố định

em gửi hình ảnh

$y^{\prime }=\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{(2x+3{)}^2}$.

Đường thẳng $y=ax+b$ là tiếp tuyến của đường cong $(C)$ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

\left\{\begin{aligned} &\dfrac{x+2}{2x+3} = ax+b\\ &a = \dfrac{-1}{(2x+3)^2} (1)\\ \end{aligned}\right.⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​​2x+3x+2​=ax+ba=(2x+3)2−1​(1)​

Mà tiếp tuyến của $(C)$ cắt trục hoành tại $A$, cắt trục tung tại $B$ sao cho $AOB$ là tam giác vuông cân tại $O$ nên $a=-1$ và $b\ne 0(2).$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra \left[\begin{aligned} &2x+3=1\\ &2x+3=-1\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = -1\\ &x = -2\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &b = 0 (l)\\ &b = -2 (tm) \end{aligned}\right. \Rightarrow a+b = -3.[​2x+3=12x+3=−1​⇔[​x=−1x=−2​⇔[​b=0(l)b=−2(tm)​⇒a+b=−3.

Cho hàm số y=f(x)y=f(x)có đạo hàm liên tục trên khoảng K và có đồ thị là đường cong (C), phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(a,f(a)),(a∈K)M(a,f(a)),(a∈K) là:

y=f′(a)(x−a)+f(a).

 . 

y=-x-3

y=-6x-3

Gọi $N(x^0;y^0)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến đã cho.

Phương trình tiếp tuyến $d$ có dạng: $y=(4x^0+2x^0)(x-x^0)+x^0+x^0+1$.

$M\in d$ nên $3=(4x^0+2x^0)(-1-x^0)+x^0+x^0+1\iff 3x^0+4x^0+x^0+2x^0+2=0$

$\iff (x^0+1{)}^2(3x^0-2x^0+2)=0\iff x^0=-1\Rightarrow y^0=3$ và $y^{\prime }(x^0)=-6$.

Phương trình tiếp tuyến là $y=-6x-3.$

Xét tiếp tuyênd với (C) tại điểm có hoành độ x₀ bất kì trên (C) 

Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến đó là: y'=-x²₀-4x₀-3=1-(x₀+2) =< 1 với mọi x

k=1

X=1 hoặc x=-1

TXĐ : R 

y' =3x² - 3 

tiếp tuyến d song song với ox nếu hệ số góc bằng 0 nên ta có phương trình 0 = 3x² -3 => x = 1 hoặc x= -1

ko biết

xét m=1 và m=-1 thì pt luôn có nghiệm
xét m#1 và m#-1
đặt f(x)=(1−m2)x5−3x−1(1−m2)x5−3x−1
f(x)liên tục trên R nên f(x) lt trên [-1,0]
f(-1)=m2+1m2+1>0
f(0)=-1
f(-1)*f(0)<0 suyra ( đpcm ) .

ko bt sory bạn:((

bạn ơi bạn troll mình à

chứ mình ko bt đâu

Đặt f(x) = 4x³ - 8x² + 1 

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R nên:

f(x) liên tục trên [-1; 2].

Ta có: f(-1) = -11 và f(2) = 1 ⇒ f(−1).f(2)=−11<0  nên tồn tại x_0 \in (-1;2)x₀​ ∈ (−1; 2) để f(x_0)=0f(x₀₀​)=0.

\left\{ \begin{aligned} & f(-1)=-11\\ & f(2)=1 \end{aligned} \right. \Rightarrow f(-1).f(2) = -11 < 0 Vậy phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (-1 ; 2 ).    
 

Hàm số f(x)=4x³-8x²+1 liên tục trên R

Ta có f(-1)=-11,f(2)=1 nên f(-1);f(2) <0

Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trình đã có có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1;2)