\(P=\frac{x}{\sqrt{x}-3}\Leftrightarrow P-12=\frac{x}{\sqrt{x}-13}-12\)

\(\Leftrightarrow P-12=\frac{x-12\sqrt{x}+36}{\sqrt{x}-3}=\frac{\left(\sqrt{x}-6\right)^2}{\sqrt{x}-3}\)

Mà \(\left(\sqrt{x}-6\right)^2\ge0va\sqrt{x}-3>0\left(x>9\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(\sqrt{x}-6\right)^2}{\sqrt{x}-3}\ge0\)
Dấu = xảy ra <=> \(\left(\sqrt{x}-6\right)^2=0\Leftrightarrow\sqrt{x}-6=0\Leftrightarrow\sqrt{x}=6\Leftrightarrow x=36\)

Lúc đó \(P-12=0\Rightarrow P=12\)
Vậy GTNN của \(P=12\Leftrightarrow x=36\)

Hìiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
 

\(-6y\) hay \(-6z\) bạn check lại đề cho mik :)

`Answer:`

Câu 1:

Câu 2:

a) \(\frac{2x+1}{6x-5}\ge\frac{3x-2}{9x-1}\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(9x-1\right)\ge\left(6x-5\right)\left(3x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow18x-2x+9x-1\ge18x-12x-15x+10\)

\(\Leftrightarrow7x-1\ge-27x+10\)

\(\Leftrightarrow7x+27x\ge10+1\)

\(\Leftrightarrow-20x\ge11\)

\(\Leftrightarrow x\le-\frac{11}{20}\)

b) \(\frac{3}{1-x}\le\frac{3}{2x+1}\left(x\ne1;x\ne-\frac{1}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{2x+1}-\frac{3}{1-x}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3\left(1-x\right)-3\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)\left(1-x\right)}\ge0\)

Trường hợp 1: \(\hept{\begin{cases}3\left(1-x\right)-3\left(2x+1\right)\ge0\\\left(x+1\right)\left(1-x\right)>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< 0\\-\frac{1}{2}< x< 1\end{cases}}\Leftrightarrow0< x< 1\)

Trường hợp 2: \(\hept{\begin{cases}3\left(1-x\right)-3\left(2x+1\right)< 0\\\left(2x+1\right)\left(1-x\right)< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\x< -\frac{1}{2}\text{ hoặc }x>1\end{cases}}\Leftrightarrow x>1\)

Câu 3:

a) Để cho giá trị của biểu thức `\frac{2x+1}{x-2}` không lớn hơn `1`

\(\Leftrightarrow\frac{2x+1}{x-2}\le1\)

\(\Leftrightarrow2x+1\le x-2\)

\(\Leftrightarrow2x-x\le-2-1\)

\(\Leftrightarrow x\le-3\)

b) Để cho giá trị của biểu thức `\frac{3x+1}{2x-1}` không bé hơn `2`

\(\Leftrightarrow\frac{3x+1}{2x-1}\ge2\)

\(\Leftrightarrow3x+1\ge2\left(2x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow3x+1\ge4x-2\)

\(\Leftrightarrow3x-4x\ge-2-1\)

\(\Leftrightarrow-x\ge-3\)

\(\Leftrightarrow x\le3\)

Thế còn câu hỏi?

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Khi đó \(\frac{a^4}{b+2}=\frac{1}{3}\)

Ta cần ghép \(\frac{a^4}{b+2}\)với hạng tử \(k\left(b+2\right)\)thỏa mãn khi Cô-si thì dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

Lại có \(b+2=3\)

Đồng thời khi Cô-si dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a^4}{b+2}=k\left(b+2\right)\)hay \(\frac{1}{3}=k.3\)\(\Leftrightarrow k=\frac{1}{9}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{a^4}{b+2}\)và \(\frac{b+2}{9}\), ta có:

\(\frac{a^4}{b+2}+\text{​​}\frac{b+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^4}{b+2}.\frac{b+2}{9}}=\frac{2a^2}{3}\)

Tương tự, ta có \(\frac{b^4}{c+2}+\text{​​}\frac{c+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{b^4}{c+2}.\frac{c+2}{9}}=\frac{2b^2}{3}\)và 

\(\frac{c^4}{a+2}+\text{​​}\frac{a+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{c^4}{a+2}.\frac{a+2}{9}}=\frac{2c^2}{3}\)

CỘng vế theo vế từng BĐT, ta được \(P+\frac{a+2+b+2+c+2}{9}\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\)

\(\Leftrightarrow P+\frac{\left(a+b+c\right)+6}{9}\ge2\)(vì \(a^2+b^2+c^2=3\)) \(\Leftrightarrow P\ge2-\frac{\left(a+b+c\right)+6}{9}\)(1)

Ta chứng minh BĐT phụ \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)(với \(a,b,c>0\))

Thật vậy, BĐT này \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\le3a^2+3b^2+3c^2\)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Vậy BĐT phụ được chứng minh \(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\sqrt{3.3}=3\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow P\ge2-\frac{3+6}{9}=1\)\(\Rightarrow min_P=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

t ko bic

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(a^2+3\ge2\sqrt{3a^2}=2\sqrt{3}a\)

Tương tự: \(b^2+3\ge2\sqrt{3}b\) ; \(c^2+3\ge2\sqrt{3}c\)

Cộng vế: \(a^2+b^2+c^2+9\ge2\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c\le\dfrac{a^2+b^2+c^2+9}{2\sqrt{3}}=\dfrac{9+9}{2\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow-\left(a+b+c\right)\ge-3\sqrt{3}\)

Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:

\(\dfrac{a^4}{b+2}+\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(b+2\right)\ge2\sqrt{\dfrac{9a^4\left(b+2\right)}{\left(b+2\right)\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}=\dfrac{6a^2}{2+\sqrt{3}}\) 

Tương tự:

\(\dfrac{b^4}{c+2}+\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(c+2\right)\ge\dfrac{6b^2}{2+\sqrt{3}}\)

\(\dfrac{c^4}{a+2}+\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)}\left(a+2\right)\ge\dfrac{6c^2}{2+\sqrt{3}}\)

Cộng vế:

\(P+\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(a+b+c+6\right)\ge\dfrac{6}{2+\sqrt{3}}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\dfrac{54}{2+\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{54}{2+\sqrt{3}}-\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(a+b+c+6\right)\ge\dfrac{54}{2+\sqrt{3}}-\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}.\left(3\sqrt{3}+6\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{27}{2+\sqrt{3}}=27\left(2-\sqrt{3}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{c^2}{a+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{81}{12}=\dfrac{27}{4}\)

Dấu "=" ⇔ a=b=c=3

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{9}{16}\left(b+1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{9a^2\left(b+1\right)}{16\left(b+1\right)}}=\dfrac{3a}{2}\) 

Tương tự: \(\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{9}{16}\left(c+1\right)\ge\dfrac{3b}{2}\) ; \(\dfrac{c^2}{a+1}+\dfrac{9}{16}\left(a+1\right)\ge\dfrac{3c}{2}\)

Cộng vế:

\(VT+\dfrac{9}{16}\left(a+b+c+3\right)\ge\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow VT+\dfrac{27}{4}\ge\dfrac{27}{2}\Rightarrow VT\ge\dfrac{27}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Kiểm tra lại mẫu số của 3 phân thức

Mẫu số của \(b+1\ne c+2,a+2.\)

Xem lại đề bạn