a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

b: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2=12^2+16^2=400\)

=>\(BC=\sqrt{400}=20\)

ΔABC~ΔHBA

=>\(\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{HA}{AC}\)

=>\(\dfrac{HB}{12}=\dfrac{HA}{16}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\)

=>\(HB=12\cdot\dfrac{3}{5}=7,2;HA=16\cdot\dfrac{3}{5}=9,6\)

c: 

ta có: \(\widehat{ANB}+\widehat{ABN}=90^0\)(ΔABN vuông tại A)

\(\widehat{HMB}+\widehat{HBM}=90^0\)(ΔHBM vuông tại H)

mà \(\widehat{ABN}=\widehat{HBM}\)

nên \(\widehat{ANB}=\widehat{HMB}\)

=>\(\widehat{ANM}=\widehat{AMN}\)

=>ΔAMN cân tại A

Xét ΔBAH có BM là phân giác

nên \(\dfrac{AM}{MH}=\dfrac{BA}{BH}\)

=>\(\dfrac{AM}{MH}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(AB\cdot AM=MH\cdot BC\)

\(\dfrac{3-x}{2009}-\dfrac{2-x}{2010}+\dfrac{1-x}{2011}=-1\)

=>\(\dfrac{x-3}{2009}+\dfrac{x-2}{2010}-\dfrac{x-1}{2011}=1\)

=>\(\left(\dfrac{x-3}{2009}-1\right)+\left(\dfrac{x-2}{2010}-1\right)-\left(\dfrac{x-1}{2011}-1\right)=0\)

=>\(\dfrac{x-2012}{2009}+\dfrac{x-2012}{2010}-\dfrac{x-2012}{2011}=0\)

=>\(\left(x-2012\right)\left(\dfrac{1}{2009}+\dfrac{1}{2010}-\dfrac{1}{2011}\right)=0\)

=>x-2012=0

=>x=2012

a: Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có

\(\widehat{HCA}\) chung

Do đó: ΔCHA~ΔCAB

=>\(\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{CA}{CB}\)(1)

=>\(CA^2=CH\cdot CB\)

b: Xét ΔBAC có BK là phân giác

nên \(\dfrac{AK}{BK}=\dfrac{CA}{CB}\left(2\right)\)

Xét ΔCAH có CI là phân giác

nên \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{CH}{CA}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{AK}{BK}=\dfrac{IH}{IA}\)

\(\left(x+0,35x\right)^4=114752300\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}1,35x=103,5\\1,35x=-103,5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=100\\x=-100\end{matrix}\right.\)

Gọi x (tuổi) là tuổi em hiện nay (x > 0)

Tuổi anh hiện nay là: 4x (tuổi)

Tuổi em 7 năm sau: x + 7 (tuổi)

Tuổi anh 7 năm sau: 4x + 7 (tuổi)

Theo đề bài, ta có phương trình:

4x + 7 = 3(x + 7)

4x + 7 = 3x + 21

4x - 3x = 21 - 7

x = 14 (nhận)

Vậy tuổi em hiện nay là 14 tuổi, tuổi anh hiện nay là 4.14 = 56 tuổi.

(Chú ý: Em xem lại số liệu chứ tuổi em là 14 mà sao tuổi anh tới 56 tuổi là không hợp lý)

\(\Omega=\left\{1;2;3;...;30\right\}\)

=>\(n\left(\Omega\right)=30-1+1=30\)

Gọi A là biến cố "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 2 và 5"

=>A={10;20;30}

=>n(A)=3

\(P_A=\dfrac{3}{30}=\dfrac{1}{10}\)

Lơ giải:
Giả sử quyển thứ hai tăng $a$ % so với giá ban đầu thì quyển thứ nhất tăng $a+5$ % so với giá ban đầu.

Theo bài ra ta có:

$30(1+\frac{a+5}{100})+65(1+\frac{a}{100})=106$

$\Rightarrow 0,95a+96,5=106$

$\Rightarrow a=10$ (%)

Vậy quyển 1 tăng 15% và quyển 2 tăng 10%

a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔCBA vuông tại A có

\(\widehat{ABH}\) chung

Do đó: ΔABH~ΔCBA

b: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC=\sqrt{20^2-12^2}=16\left(cm\right)\)

ΔABH~ΔCBA

=>\(\dfrac{AH}{CA}=\dfrac{AB}{CB}\)

=>\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{12\cdot16}{20}=9,6\left(cm\right)\)

c: Xét ΔBAC có BK là phân giác

nên \(\dfrac{AK}{KC}=\dfrac{BA}{BC}\left(1\right)\)

=>\(\dfrac{AK}{BA}=\dfrac{KC}{BC}\)

=>\(\dfrac{AK}{12}=\dfrac{KC}{20}\)

=>\(\dfrac{AK}{3}=\dfrac{KC}{5}\)

mà AK+KC=AC=16cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AK}{3}=\dfrac{KC}{5}=\dfrac{AK+KC}{3+5}=\dfrac{16}{8}=2\)

=>\(AK=2\cdot3=6\left(cm\right)\)

d: Xét ΔBAK vuông tại A và ΔBHI vuông tại H có

\(\widehat{ABK}=\widehat{HBI}\)

Do đó: ΔBAK~ΔBHI

=>\(\widehat{BKA}=\widehat{BIH}\)

=>\(\widehat{AIK}=\widehat{AKI}\)

=>ΔAKI cân tại A

\(\dfrac{x-1}{13}-\dfrac{2x-13}{15}=\dfrac{3x-15}{27}-\dfrac{4x-27}{29}\)

=>\(\left(\dfrac{x-1}{13}-1\right)-\left(\dfrac{2x-13}{15}-1\right)=\left(\dfrac{3x-15}{27}-1\right)-\left(\dfrac{4x-27}{29}-1\right)\)

=>\(\dfrac{x-14}{13}-\dfrac{2x-28}{15}-\dfrac{3x-42}{27}+\dfrac{4x-56}{29}=0\)

=>\(\left(x-14\right)\left(\dfrac{1}{13}-\dfrac{2}{15}-\dfrac{3}{27}+\dfrac{4}{29}\right)=0\)

=>x-14=0

=>x=14

Có

Có hoặc không.