Xét hai tam giác CIB và AFC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CIB}=\widehat{AFC}=90^0\\\widehat{BCI}=\widehat{CAF}\left(\text{so le trong}\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\Delta CIB\sim\Delta AFC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{CI}{AF}=\dfrac{BC}{CA}\Rightarrow AF.BC=CI.CA\)

TĐB, ta có: (chép lại đề bài)

=> 3x = x + 5 + 1

=> 3x = x + 6

=> 3x - x = 6

=> x(3-1) = 6

=> 2x = 6

=> x = 6 : 2

=> x = 3

Vậy x = 3

\(\Leftrightarrow\left(x^2+xy\right)-\left(x+y\right)-\left(2xy^2-2y^2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+y\right)-\left(x+y\right)-2y^2\left(x-1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+y\right)-2y^2\left(x-1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+y-2y^2\right)=1=1.1=\left(-1\right).\left(-1\right)\)

Th1: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=1\\x+y-2y^2=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\2+y-2y^2=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\2y^2-y-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=-\dfrac{1}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Th2: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=-1\\x+y-2y^2=-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\0+y-2y^2=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\2y^2-y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=-\dfrac{1}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có 2 cặp nghiệm nguyên \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right);\left(0;1\right)\)

Phân thức này không rút gọn được nữa nha bạn

Gọi tuổi của người thứ hai cách đây 10 năm là x (x>0)

Tuổi của người thứ nhất cách đây 10 năm là: \(3x\)

Tuổi của người thứ nhất sau đây 2 năm là: \(3x+12\) 

Tuổi của người thứ hai sau đây 2 năm là: \(x+12\)

Do sau đây 1 năm tuổi người thứu hai bằng 1 nửa tuổi người thứ nhất nên ta có pt:

\(x+12=\dfrac{1}{2}\left(3x+12\right)\)

\(\Leftrightarrow2x+24=3x+12\)

\(\Leftrightarrow x=12\)

Vậy tuổi của người thứ nhất hiện nay là \(3x+10=46\) tuổi, tuổi của người thứ hai hiện nay là \(x+10=22\) tuổi

6:

\(2x^2+3xy-2y^2=7\)

=>\(2x^2+4xy-xy-2y^2=7\)

=>\(2x\left(x+2y\right)-y\left(x+2y\right)=7\)

=>(x+2y)(2x-y)=7

=>\(\left(x+2y;2x-y\right)\in\left\{\left(1;7\right);\left(7;1\right);\left(-1;-7\right);\left(-7;-1\right)\right\}\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=1\\2x-y=7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=2\\2x-y=7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}5y=-5\\x+2y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=1-2y=1-2\cdot\left(-1\right)=3\end{matrix}\right.\)

=>Nhận

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=7\\2x-y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=7\\4x-2y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x=9\\2x-y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1,8\\y=2x-1=2\cdot1,8-1=2,6\end{matrix}\right.\)

=>Loại

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=-1\\2x-y=-7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=-2\\2x-y=-7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}5y=-2+7=5\\2x-y=-7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=1\\2x=-7+y=-7+1=-6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=1\end{matrix}\right.\)

=>Nhận

TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=-7\\2x-y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=-7\\4x-2y=-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}5x=-9\\2x-y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1,8\\y=2x+1=2\cdot\left(-1,8\right)+1=-2,6\end{matrix}\right.\)

=>Loại

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

\(\widehat{HBA}\) chung

Do đó: ΔHBA~ΔABC

b: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

ΔHBA~ΔABC

=>\(\dfrac{HA}{AC}=\dfrac{BA}{BC}\)

=>\(HA=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{3\cdot4}{5}=2,4\left(cm\right)\)

c: Xét ΔDAB có DE là phân giác

nên \(\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{DA}{DB}\)

Xét ΔDAC có DF là phân giác

nên \(\dfrac{FC}{FA}=\dfrac{DC}{DA}\)

\(\dfrac{EA}{EB}\cdot\dfrac{FC}{FA}\cdot\dfrac{DB}{DC}\)

\(=\dfrac{DA}{DB}\cdot\dfrac{DC}{DA}\cdot\dfrac{DB}{DC}=1\)

ĐKXĐ: \(x\notin\left\{0;3;1\right\}\)

\(\left(\dfrac{x+3}{x}-\dfrac{x}{x-3}+\dfrac{9}{x^2-3x}\right):\dfrac{2x-2}{x}\)

\(=\dfrac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)-x^2+9}{x\left(x-3\right)}\cdot\dfrac{x}{2x-2}\)

\(=\dfrac{x^2-9-x^2+9}{x\left(x-3\right)}\cdot\dfrac{x}{2\left(x-1\right)}\)

=0

Xét ΔABF vuông tại F và ΔACE vuông tại E có

\(\widehat{BAF}\) chung

Do đó: ΔABF~ΔACE

=>\(\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

Xét ΔAFE và ΔABC có

\(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAFE~ΔABC