f(n) = n^5-5n^3+4n

=n⁵-n³-4n³+4n

=n³.(n²-1)-4n.(n²-1)

=n(n²-1)(n²-4)

=n.(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)

ta có: n+1 và n là hai số nguyên liên tiếp nên: n.(n-1) chia hết cho 2

n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên: n(n-1)(n+1) chia hết cho 3

n-1;n;n+1;n+2 là bốn số nguyên liên tiếp nên: n(n-1)(n+1)(n+2) chia hết cho 4

n-2;n-1;n;n+1;n+2 là năm số nguyên liên tiếp nên n.(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 5

Suy ra: n.(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 2.3.4.5=120

Vậy f(n) chia hết cho 129 với mọi n thuộc Z

a)x^2+2x-4y^2-4y

=(x²-4y²)+(2x-4y)

=(x-2y)(x+2y)+2.(x-2y)

=(x-2y)(x+2y+2)

b)x^4-6x^3+54x-81

=(x⁴-81)+(-6x³+54x)

=(x²-9)(x²+9)-6x.(x²-9)

=(x²-9)(x²+9-6x)

=(x-3)(x+3)(x-3)²

=(x-3)³(x+3)

c)ax^2+ax-bx^2-bx-a+b

=(ax²-bx²)+(ax-bx)+(-a+b)

=x².(a-b)+x.(a-b)-(a-b)

=(a-b)(x²+x+1)

a)x^2-4xy+4y^2-4

=(x²-4xy+4y²)-4

=(x-2y)²-4

=(x-2y+2)(x-2y-2)

b)16-x^2+2xy-y^2

=16-(x²-2xy+y²)

=16-(x-y)²

=[4-(x-y)][4+(x-y)]

=(4-x+y)(4+x-y)

Bài này thì phải hỏi cô Loan

ban oi cai cho b² co dau ngoac ko ban

neu co thi tu tren = a³ - b³ - (a³ + b³)

                        =a³- b³ -a³  - b³ = -2b³

\(a,\text{ }x^2+x+1=x+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

\(\text{Vì }\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\text{ với mọi x nên: }\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\text{ với mọi x}\)

\(\text{Vậy GTNN của }x^2+x+1\text{ là }\frac{3}{4}\text{ tại }x+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)

\(b,2x^2+2x+1=2.\left(x^2+x+\frac{1}{2}\right)=2.\left(x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)\)

\(=2.\left(x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=2.\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)

\(\text{Vì }2.\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\text{ nên: }2.\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)

\(\text{Vậy GTNN của }2x^2+2x+1\text{ là }\frac{1}{2}\text{ tại }x+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)