a) \(5x^2-10xy+5y^2-20z^2=5\left(x^2-2xy+y^2-4z^2\right)\)

\(=5\left[\left(x-y\right)^2-4z^2\right]=5\left(x-y-2z\right)\left(x-y+2z\right)\)

b) \(x^2-z^2+y^2-2xy=\left(x^2-2xy+y^2\right)-z^2\)

\(=\left(x-y\right)^2-z^2=\left(x-y-z\right)\left(x-y+z\right)\)

c) \(a^3-ay-a^2x+xy=a^2\left(a-y\right)-x\left(a^2-y\right)=\left(a^2-x\right)\left(a^2-y\right)\)

d) \(x^2-2xy-4z^2+y^2=\left(x^2-2xy+y^2\right)-4z^2\)

\(=\left(x-y\right)^2-4z^2=\left(x-y-2z\right)\left(x-y+2z\right)\)

e) \(3x^2-6xy+3y^2-12z^2=3\left(x^2-2xy+y^2-4z^2\right)\)

\(=3\left[\left(x-y\right)^2-4z^2\right]=3\left(x-y-2z\right)\left(x-y+2z\right)\)

f) \(x^2-6xy+9y^2-25z^2=\left(x-3y\right)^2-25z^2=\left(x-3y-5z\right)\left(x-3y+5z\right)\)

g) \(x^2-y^2+2yz-z^2=x^2-\left(y^2-2yz+z^2\right)\)

\(=x^2-\left(y-z\right)^2=\left(x-y+z\right)\left(x+y-z\right)\)

\(x^2-2y^2-xy+2x-y-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+xy+x-2xy-2y^2-2y+x+y+1=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(x-2y+1\right)=3\)

Mà \(x,y\)nguyên nên \(x+y+1,x-2y+1\)là các ước của \(3\).

Ta có bảng giá trị: 

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. 

Từ x-y=5

=> (x-y)³ = 5³

=> x³ - 3x²y + 3xy² - y³ = 125

=> x³ -y³ - 3xy(x - y) = 125

Mà x-y=5 ; xy=3 

=> x³ - y³ - 3.3.5 = 125

=> x³ -y³ = 125 + 45

=> x³ -y³ =170

Vậy  x³ -y³ =170

Từ x - y = 5  x^2 - 2xy + y^2 = 25

$\Rightarrow$x^2 + y^2=   2xy + 25  =  25 + 6 = 31

Ta lại có (x - y)^3= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 -  y^3

$\Rightarrow$x^3 - y^3=(x - y)^3-3xy(x - y)= 5^3 - 3.3.5

                                             =  80

a) Xét tam giác ACB đỉnh C ta có : 
 

+ E là trung điểm AC

 + M là trung điểm BC

=> EM là đường trung bình của tam giác

=> EM=1/2 AB = AD=BD (1)( D là trung điểm của AB)

Xét tam giác ABC đỉnh C ta có : 

+ M là trung điểm của BC

+ D là trung điểm AB

=> MD là trung bình của tam giác ABC

=> MD = 1/2 AC = AE = EC (2) ( E là trung điểm AC)

Xét tứ giác AEMD có : 

 AD = EM (từ 1)

 DM = AE ( từ 2)

=> Tứ giác AEMD là hình bình hành

Lại có : F là trung điểm của đường chéo AM

=> F là giao điểm của đường chéo AM và DE

=> D,E,F thẳng hàng

b) Vì tứ giác AEMD là hình bình hành ( cm ở câu a)

Mà F lại là trung điểm của AM

=> F là trung điểm DE .

Kẻ EH // CD

Khi đó trong ΔAEH có

AM = MH (gt)

DM // EH

=> AD = ED (1)

Trong ΔDBCcó:

BH = CH (qh đường xiên - hình chiếu)

EH // CD

=> ED = BE (2)

Từ (1) và (2) => AD = ED = EB

mà AB = AD + ED + EB => AD = 1/3AB

                                      =>  AB  =  3 AD ( đpcm)

Trả lời:

a, \(\left(x^2-2y\right)\left(x^4+2x^2y+4y^2\right)-x^3\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+8y^3\)

\(=\left(x^2\right)^3-\left(2y\right)^3-x^3\left(x^3-y^3\right)+8y^3\)

\(=x^6-8y^3-x^6+x^3y^3+8y^3\)

\(=x^3y^3\)

b, \(\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)-\left(x-1\right)^3+7\)

\(=x^3-8-\left(x^3-3x^2+3x-1\right)+7\)

\(=x^3-8-x^3+3x^2-3x+1+7\)

\(=3x^2-3x\)

c, \(x\left(x+2\right)\left(2-x\right)+\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)\)

\(=x\left(4-x^2\right)+x^3+27\)

\(=4x-x^3+x^3+27\)

\(=4x+27\)

\(^{ }\)