Ta có x + my = 1 và mx + y = 1
<=> x = 1 - my và mx + y = 1
<=> x = 1 - my và m(1 - my) + y = 1
<=> x = 1 - my và m - m^2y + y = 1
<=> x = 1 - my và y(1 - m^2) = 1 - m
Để hpt có nghiệm duy nhất thì pt y(1 - m^2) = 1 - m có nghiệm duy nhất
<=> 1 - m^2 ≠ 0
<=> (1 - m)(1 + m) ≠ 0
<=> m ≠ ±1
Khi đó nghiệm duy nhất của hpt sẽ là
x = 1 - m/(1 + m) và y = 1/(1 + m)
Để x , y > 0
thì 1 - m/(1 + m) > 0 và 1/(1 + m) > 0
<=> 1/(1 + m) > 0
<=> m + 1 > 0
<=> m > -1
và m ≠ ±1
do đó m > - 1 và m ≠ 1
Vậy m > - 1 và m ≠ 1 thì hpt có nghiệm duy nhất thỏa mãn x , y > 0

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

Ta có: 

\(2=a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\ge\left(a+b\right)^3-3.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\left(a+b\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3\le2\times4=8\)

\(\Leftrightarrow a+b\le2\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=1\).

Vậy \(maxN=2\).

chuẩn

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x(m)(x>0)

       chiều rộng hình chữ nhật là y(m)(y>0)        (x>y>0)

=>Diện tích hình chữ nhật là xy(m\(^2\))

Theo bài ra:

+Hình chữ nhật có chu vi 136m =>(x+y)2=136(1)

+Nếu tăng chiều dài thêm 5m, chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 255m\(^2\)=>(x+5)(y+3)=xy+255(2)

Từ (1) và (2) ta có hpt:

\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)2=136\\\left(x+5\right)\left(y+3\right)=xy+255\end{cases}}\)

=>\(\hept{\begin{cases}x+y=68\\xy+3x+5y+15=xy+255\end{cases}}\)

=>\(\hept{\begin{cases}x+y=68\\3x+5y=xy+255-xy-15\end{cases}}\)

=>\(\hept{\begin{cases}x+y=68\\3x+5y=240\end{cases}}\)

=>\(\hept{\begin{cases}3x+3y=204\\3x+5y=240\end{cases}}\)

=>\(\hept{\begin{cases}-2y=-36\\x+y=68\end{cases}}\)

=>\(\hept{\begin{cases}y=18\\x=50\end{cases}}\)(TM)

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 50m

        chiều rộng hình chữ nhật là 18m