Cho \(a\text{}\ge1,b\ge13,c\ge53\)thõa mãn abc = 5512. Tính GTLN của:
P =\(bc\sqrt{a-1}+\sqrt{13}ac\sqrt{b-13}+\sqrt{53}ab\sqrt{c-53}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
KN
4 tháng 4 2021
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki
\(\left(a+b\right)\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}\right)\ge\left(\sqrt{a}.\frac{2}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{2\sqrt{b}}\right)=\left(2+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\)
<=> \(\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{ab}\right)\ge5\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{\sqrt{a}}{\frac{2}{\sqrt{a}}}=\frac{\sqrt{b}}{\frac{1}{2\sqrt{b}}}\\a+b=\frac{5}{4}\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{2}=2b\\a+b=\frac{5}{4}\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}x=1\\b=\frac{1}{4}\end{cases}}\)
Vậy min bt = 5 <=> x = 1; b = 1/4
SG
0
5 tháng 4 2021
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{9}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{9}{a+b+c}\right)^2}{3}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{9}=\frac{3^2}{3}+\frac{2.9}{9}=5\)
N
3 tháng 4 2021
Vì ( a - b )2 \(\ge\)0 \(\forall\)a,b \(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\). Mà ab = 4 \(\Rightarrow a^2+b^2\ge8\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\ge\frac{\left(a+b-2\right).8}{a-b}\)
Đặt t = a + b \(\Rightarrow t\ge4\)( Do \(a+b\ge2\sqrt{ab}=4\))
\(\frac{\left(t-2\right).8}{t}=\frac{8t-16}{t}=8-\frac{16}{t}\)
Vì \(t\ge4\Rightarrow\frac{16}{t}\le\frac{16}{4}\Rightarrow-\frac{16}{t}\ge-4\Rightarrow\left(8-\frac{16}{t}\right)\ge8-4=4\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\ge4\)Dấu '' = '' xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a,b=4\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2}\)
Vậy \(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)min \(\Leftrightarrow a=b=2\)