tứ giác AIMK có

góc AIM = góc AKM = 90 độ

suy ra AIMK là tứ giác nội tiếp

a, \(x^2-4x+3=0\Leftrightarrow x^2-x-3x+3=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=1\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 1 ; 3 } 

b, Ta có : \(\Delta=\left(2m+2\right)^2-4\left(2m-5\right)=4m^2+8m+4-8m+20=4m^2+24>0\forall m\)

Theo Vi et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m-2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-5\end{cases}}\)

Ta có : \(\left(x_1^2-2mx_1-x_2+2m-3\right)\left(x_2^2-2mx_2-x_1+2m-3\right)=19.1=1.19\)

TH1 : \(\hept{\begin{cases}x_1^2-2mx_1-x_2+2m-3=19\\x_2^2-2mx_2-x_1+2m-3=1\end{cases}}\)

Lấy phương trình (1) + (2) ta được : 

\(x_1^2+x_2^2-2mx_1-2mx_2-x_2-x_1+4m-6=20\)

mà \(\left(x_1+x_2\right)^2=4m^2+8m+4\Rightarrow x_1^2+x_2^2=4m^2+8m+4-2x_1x_2\)

\(=4m^2+8m+4-2\left(2m-5\right)=4m^2+4m-6\)

\(\Leftrightarrow4m^2+4m-6-2m\left(2m-2\right)-\left(2m-2\right)+4m-6=20\)

\(\Leftrightarrow4m^2+4m-6-4m^2+4m-2m+2+4m-6=20\)

\(\Leftrightarrow10m=30\Leftrightarrow m=3\)tương tự với TH2, nhưng em ko chắc lắm vì dạng này em chưa làm bao giờ 

x=1 và x=3

Bài 2 : 

\(\hept{\begin{cases}3x+2y=11\left(1\right)\\x+2y=5\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy phương trình (1) - phương trình (2) ta được : 

\(2x=6\Leftrightarrow x=3\)

Thay x = 3 vào phương trình (2) ta được : 

\(3+2y=5\Leftrightarrow2y=2\Leftrightarrow y=1\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(3;1\right)\)

1 , a = 5 , b = -7

2 , x = 3 , y = 1

a, Với \(x\ge0,x\ne4\)

\(A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}-\frac{5}{x+\sqrt{x}-6}-\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-5-\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{x-4-5-\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\frac{x-\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}\)

b, Ta có  \(x=6+4\sqrt{2}=2^2+4\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2=\left(2+\sqrt{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)^2}=\left|2+\sqrt{2}\right|=2+\sqrt{2}\)do \(2+\sqrt{2}>0\)

\(\Rightarrow A=\frac{2+\sqrt{2}-4}{2+\sqrt{2}-2}=\frac{-2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{-2\sqrt{2}+2}{2}=\frac{-2\left(\sqrt{2}-1\right)}{2}=1-\sqrt{2}\)

1, A = \(\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}\)

2 , A = \(1-\sqrt{2}\)

ĐKXĐ: $x\ge 2$

Chuyển vế và bình phương hai vế:

\sqrt{5x^2 + 27x + 25} - 5\sqrt{x+1} = \sqrt{x^2 - 4}5x2+27x+25​−5x+1​=x2−4​

\Leftrightarrow \sqrt{5x^2 + 27x + 25} = \sqrt{x^2 - 4} + 5\sqrt{x+1}⇔5x2+27x+25​=x2−4​+5x+1​

\Leftrightarrow 5x^2 + 27x + 25 = x^2 - 4 + 25x + 25 + 10\sqrt{(x+1)(x^2-4)}⇔5x2+27x+25=x2−4+25x+25+10(x+1)(x2−4)​

\Leftrightarrow 4x^2 + 2x + 4 = 10\sqrt{(x+1)(x^2 - 4)}⇔4x2+2x+4=10(x+1)(x2−4)​

\Leftrightarrow 2(x^2 - x - 2) + 3(x+2) = 5\sqrt{(x+1)(x^2 - 4)}⇔2(x2−x−2)+3(x+2)=5(x+1)(x2−4)​

Đặt a = \sqrt{x^2 - x - 2} \ge 0;a=x2−x−2​≥0; b = \sqrt{x+2} \ge 0b=x+2​≥0.

Phương trình trở thành 5ab = 2a^2 + 3b^2 \Leftrightarrow (a-b)(2a-3b) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & a = b\\ & 2a = 3b\\ \end{aligned}\right.5ab=2a2+3b2⇔(a−b)(2a−3b)=0⇔[​a=b2a=3b​.

+ Với $a=b$ thì \sqrt{x^2 - x - 2} = \sqrt{x+2} \Leftrightarrow x^2 - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = 1-\sqrt5 \ \text{(loại)}\\ & x = 1+\sqrt5 \ \text{(thỏa mãn)}\\ \end{aligned}\right.x2−x−2​=x+2​⇔x2−2x−4=0⇔[​x=1−5​ (loại)x=1+5​ (thỏa ma˜n)​.

+ Với $2a=3b$ thì 2\sqrt{x^2 - x - 2} = 3 \sqrt{x+2}2x2−x−2​=3x+2​

\Leftrightarrow 4x^2 - 13x - 26 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = \dfrac{13 + 3\sqrt{65}}8 \ \text{(thỏa mã)n}\\ & x = \dfrac{13 - 3\sqrt{65}}8 \ \text{(loại)}\\ \end{aligned}\right.⇔4x2−13x−26=0⇔⎣⎢⎢⎢⎡​​x=813+365​​ (thỏa ma˜)nx=813−365​​ (loại)​.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1+\sqrt5x=1+5​, x = \dfrac{13 + 3\sqrt{65}}8x=813+365​​.