1/

\(P^2=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{3\left(a^2+b^2-2ab\right)}{3\left(a^2+b^2+2ab\right)}=\frac{3a^2+3b^2-6ab}{3a^2+3b^2+6ab}=\frac{10ab-6ab}{10ab+6ab}=\frac{ab}{4}\)

Do \(a>b>0\Rightarrow P=\frac{a-b}{a+b}>0\)

\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)

2/ Làm tương tự câu 1

Xin lỗi \(P^2=\frac{1}{4}\) Do \(a>b>0\Rightarrow P=\frac{a-b}{a+b}>0\)

\(\Rightarrow P=\frac{1}{2}\)

\(x^3+y^3+z^3-3xyz\)

\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz\)

\(=\left(x+y+z\right)^3-3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-3xy\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=1\end{cases}}\)

Ta có: \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=1\)

khi và chỉ khi hai trong ba số hạng trên bằng \(0\), số hạng còn lại bằng \(1\).

Giả sử \(\left(x-y\right)^2=1\)khi đó \(\hept{\begin{cases}y-z=0\\z-x=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z\)

suy ra \(x-y=0\)mâu thuẫn. 

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. 

ĐK : x >= 0 ; x khác 4

\(F=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{4\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{8}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{x+2\sqrt{x}-4\sqrt{x}+8-8}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{x-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\)