a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

b: Xét (O) có

ΔCFE nội tiếp

CE là đường kính

Do đó: ΔCFE vuông tại F

=>CF\(\perp\)FE tại F

=>CF\(\perp\)AE tại F

Xét ΔCAE vuông tại C có CF là đường cao

nên \(AF\cdot AE=AC^2\)

=>\(AF\cdot AE=AB^2\left(3\right)\)

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(AF\cdot AE=AH\cdot AO\)

=>\(\dfrac{AF}{AO}=\dfrac{AH}{AE}\)

Xét ΔAFH và ΔAOE có

\(\dfrac{AF}{AO}=\dfrac{AH}{AE}\)

\(\widehat{FAH}\)chung

Do đó: ΔAFH~ΔAOE

=>\(\widehat{AFH}=\widehat{AOE}\)

mà \(\widehat{AFH}+\widehat{EFH}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{EOH}+\widehat{EFH}=180^0\)

=>EOHF là tứ giác nội tiếp

ai giúp e với ạ :*(

a: Xét (O) có

ΔPEQ nội tiếp

PQ là đường kính 

Do đó: ΔPEQ vuông tại E

Xét tứ giác HEQS có \(\widehat{HEQ}+\widehat{HSQ}=90^0+90^0=180^0\)

nên HEQS là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔSPH vuông tại S và ΔSFQ vuông tại S có

\(\widehat{SPH}=\widehat{SFQ}\left(=90^0-\widehat{Q}\right)\)

Do đó: ΔSPH~ΔSFQ

=>\(\dfrac{SP}{SF}=\dfrac{SH}{SQ}\)

=>\(SP\cdot SQ=SH\cdot SF\)

ai giúp mik nhanh vs ạ mik tick

\(\text{Δ}=\left[-2\left(m-3\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-6m-7\right)\)

\(=4\left(m^2-6m+9\right)+4\left(6m+7\right)\)

\(=4m^2-24m+36+24m+28\)

\(=4m^2+64>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-3\right);x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-6m-7\)

\(C=\left(x_1+x_2\right)^2+8x_1x_2\)

\(=\left(2m-6\right)^2+8\left(-6m-7\right)\)

\(=4m^2-24m+36-48m-56\)

\(=4m^2-72m-20\)

\(=4\left(m^2-18m-5\right)\)

\(=4\left(m^2-18m+81-86\right)\)

\(=4\left(m-9\right)^2-344>=-344\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m=9

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>OM\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=OH\cdot HM\)

=>\(OH\cdot HM=AH\cdot HB\)

b: Ta có: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI\(\perp\)CD tại I

Xét tứ giác OHNI có \(\widehat{OHN}+\widehat{OIN}=90^0+90^0=180^0\)

nên OHNI là tứ giác nội tiếp

c: Xét tứ giác OCKI có \(\widehat{OIC}=\widehat{OKC}=90^0\)

nên OCKI là tứ giác nội tiếp

bài 3:

a: \(x^2-mx-1=0\)

\(a=1;b=-m;c=-1\)

Vì a*c=-1<0

nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu

b: Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m;x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-1\)

\(P=\dfrac{x_1^2+x_1-1}{x_1}-\dfrac{x_2^2+x_2-1}{x_2}\)

\(=\left(x_1+1-\dfrac{1}{x_1}\right)-\left(x_2+1-\dfrac{1}{x_2}\right)\)

\(=\left(x_1-x_2\right)-\left(\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}\right)\)

\(=\left(x_1-x_2\right)-\dfrac{x_2-x_1}{x_1x_2}\)

\(=\left(x_1-x_2\right)+\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}\)

\(=\left(x_1-x_2\right)+\dfrac{x_1-x_2}{-1}\)

=0

Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh đất lần lượt là a(m) và b(m)

(Điều kiện: a>0 và b>0)

Nếu tăng mỗi chiều của mảnh đất thêm 4m thì diện tích tăng thêm 80m² nên ta có:

(a+4)(b+4)=ab+80

=>ab+4a+4b+16=ab+80

=>4a+4b=64

=>a+b=16(1)

Nếu giảm chiều rộng 2m và tăng chiều dài 5m thì diện tích mảnh đất không đổi nên ta có:

(a-2)(b+5)=ab

=>ab+5a-2b-10=ab

=>5a-2b=10(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=16\\5a-2b=10\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2a+2b=32\\5a-2b=10\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}7a=42\\a+b=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=10\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Chu vi mảnh đất là \(\left(6+10\right)\cdot2=32\left(m\right)\)

Đặt: Độ dài chiều dài và rộng của mảnh vườn lần lượt là a và b (m; a>b>0)

=> Diện tích mảnh đất đó là ab (m²)

+) Nếu tăng mỗi chiều của mảnh đất đó thêm 4m thì diện tích mảnh đất đó tăng thêm 80m²

=> (a+4)(b+4)=ab+80 (m²)

=> ab+4a+4b+16=ab+80

=>4a+4b+16=80

=>4a+4b=64

=> 4(a+b)=64

=> a+b=16 (1)

+)Nếu giảm chiều rộng 2m và tăng chiều dài thêm 5m thì diện tích mảnh vườn không đổi

=> (a+5)(b-2)=ab(m²)

=>ab-2a+5b-10=ab

=>-2a+5b=10 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=16\Rightarrow2\left(a+b\right)=2a+2b=32\\-2a+5b=10\end{matrix}\right.\)

\(2a+2b-2a+5b=7b=42\)

\(b=6\)

Thay b = 6 vào (1)

=> a + 6 = 16

=> a = 10

Có a>b>0 (do 10>6>0)

=> tmđk: a = 10 và b = 6

=> Độ dài của chiều dài và rộng lần lượt là 10m và 6m

=> Chu vi mảnh vườn đó là: (10+6).2=32(m)

Đ/S: 32m