Cho $\triangle A B C$ nhọn co $A B<A C$ nội tiếp đường trờn $(O ; R)$, các đường cao $A D, B E, C F$
1) Chứng minh tứ giác $B C E F$ nội tiếp.
2) Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $B C$. Tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn ( $O$ ) cá́t tia $O M$ tại $T$. Chứng minh $O M . O T=R^{2}$ và $\overline{M A O}=T \overline{T A D}$.
3) Gọi $I$ là giao điếm của $A T$ và $E F$. Chứng minh $\triangle A F I \propto \triangle A C M$ và $I$ là trung điểm của đoạn thắng $E F$.

Đề chuyên Toán - Chuyên tỉnh Bắc Ninh 2021-2022

Cho tam giác ABC nhọn và cố định, nội tiếp đường tròn tâm O. điểm P là một điểm thay đổi trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) (P không trùng với A và B). Đường thẳng qua P vuông góc OA và cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm Q và R; đường thẳng qua P vuông góc với OB và cắt các đường thẳng AB, BC theo thứ tự tại các điểm S và T.

a) Chứng minh tam giác PQS là tam giác cân

b) Giả sử tam giác ABC cân tại C, gọi giao điểm của hai đường thẳng AB và PC là M. Chứng minh rằng hai tam giác CPA và CAM đồng dạng và khi P thay đổi trên cung nhỏ AB thì tỉ số PC/(PA+PB) có giá trị không đổi.

c) Tìm vị trí của điểm P trên cung nhỏ AB để tích QR.ST đạt giá trị lớn nhất.