a) vẽ bạn tự vẽ nha

b) Xét pt hoành độ giao điểm chung của (d) và (P) ta có:
\(\frac{1}{4}x^2=x+m\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x-4m=0\left(1\right)\)

\(\Delta^,=4+4m\)

Để (d) tiếp xúc với (P) \(\Leftrightarrow\Delta^,=0\)

\(\Leftrightarrow4+4m=0\)

\(\Leftrightarrow m=-1\)

Thay m=-1 vào pt (1) ta được : 

\(x^2-4x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

\(\Rightarrow y=\frac{1}{4}.2^2=1\)

Gọi tọa độ tiếp điểm của (d) tiếp xúc với (P) là A(x,y) 

=> tọa độ tiếp điểm là \(A\left(2;1\right)\)

Gọi O là tâm của một đường tròn bất kì có bán kính bằng 1cm và tiếp xúc với đường thẳng xy.

Ta có: R = 1, và đường tròn tiếp xúc với đường thẳng xy nên ta có: d = R, suy ra d = 1.

=> Tâm O cách đường thẳng xy một khoảng cố định 1cm nên nằm trên các đường thẳng (a) và (b) song song với xy và cách xy một khoảng là 1cm.

Gọi OO là tâm của một đường tròn bất kì có bán kính bằng 1 cm và tiếp xúc với đường thẳng x yxy. Khi đó khoảng cách từ OO đến đường thẳng x yxy là 1cm. Tâm OO cách đường thẳng xyxy cố định 1cm nên nằm trên hai đường thẳng mm và m'm′ song song với xyxy và cách xyxy là 1cm.

Kẻ AH ⊥ Ox, AK ⊥ Oy.

Vì AH = 4 > R = 3 nên đường tròn tâm (A) và trục hoành không giao nhau.

Vì AK = 3 = R nên đường tròn (A) và trục tung tiếp xúc nhau.

Đg tròn A ko giao nhau vs trục hoành

Đg tròn A tiếp xúc vs trục tung

Cắt nhau

6cm

Không cắt nhau

a) đk: \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

\(M=\frac{x}{\sqrt{x}-1}\cdot\left(\frac{4}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}-6}{x+2\sqrt{x}}\right)\)

\(M=\frac{x}{\sqrt{x}-1}\cdot\frac{4\sqrt{x}-\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}+2\right)\sqrt{x}}\)

\(M=\frac{x}{\sqrt{x}-1}\cdot\frac{3\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}+2\right)\sqrt{x}}\)

\(M=\frac{x}{\sqrt{x}-1}\cdot\frac{3\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\sqrt{x}}\)

\(M=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

b) Nếu \(\sqrt{x}-1< 0\Rightarrow M< 0\)

Nếu \(\sqrt{x}-1>0\Rightarrow M>0\) nên TH này thỏa mãn

Với \(\sqrt{x}-1>0\Leftrightarrow\sqrt{x}>1\Rightarrow x>1\)

\(M=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)+3}{\sqrt{x}-1}=3+\frac{3}{\sqrt{x}-1}\)

Để M lớn nhất => \(\frac{3}{\sqrt{x}-1}\)max => \(\sqrt{x}-1\) min

...

\(x^2-2x+m-3=0\)

\(\Delta=4-4m+12\)

Để pt có 2 no \(x_1,x_2\Leftrightarrow\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow16-4m\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\le4\)

Theo hệ thức Vi-et ta có:

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(1\right)\\x_1.x_2=m-3\left(2\right)\end{cases}}\)

\(x_1^2+3x_2^2=4x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-3x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x_1=x_2\\x_1=3x_2\end{cases}}\)

TH1: \(x_1=x_2\) 

Kết hợp với (1)

 \(\Rightarrow x_1=x_2=1\)

Thay \(x_1=x_2=1\)vào (2) ta được :

\(m-3=1\)

\(\Leftrightarrow m=4\left(tm\right)\)

TH2: \(x_1=3x_2\)

kết hợp với  (1)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1=3x_2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{3}{2}\\x_2=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Thay \(\hept{\begin{cases}x_1=\frac{3}{2}\\x_2=\frac{1}{2}\end{cases}}\)vào (2) ta được:

\(\frac{3}{4}=m-3\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{15}{4}\left(tm\right)\)

Vậy \(m\in\left\{4;\frac{15}{4}\right\}\)thì pt có no \(x_1,x_2\)thỏa mãn \(x_1^2+3x_2^2=4x_1x_2\)

Để \(|P|>P\)

=> P > 0

<=> \(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}>0\)

<=> \(\sqrt{x}-1>0\)  ( vì \(\sqrt{x}+2>0\))

<=> \(\sqrt{x}>1\)

<=> \(x>1\)

Kết hợp cả ĐKXĐ đề bài cho rồi kết luận nhé

Câu 8:

a, Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt trái dấu =>ac<0=>1(m²-m-2)<0

                                                                                                         =>m²-m-2<0

                                                                                                         =>(m-2)(m+1)<0

                                                                                                         =>\(\hept{\begin{cases}m-2< 0\\m+1>0\end{cases}}\)(vì m-2<m+1)

                                                                                                         =>\(\hept{\begin{cases}m< 2\\m>-1\end{cases}}\)=>-1<m<2

b, Để phương trình có 2 nghiệm x_1;x₂=>đenta'=(-m)²-1(m²-m-2) lớn hơn hoặc bằng 0

                                                             =>m²-m²+m+2 lớn hơn hoặc bằng 0

                                                              =>m+2 lớn hơn hoặc bằng 0

                                                              =>m lớn hơn hoặc bằng -2

Theo hệ thức Vi-ét:\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-m-2\end{cases}}\)

Theo bài ra:x₁²+x₂²=4

                  =>(x₁+x₂)²-2x₁x₂=4

                  =>(2m)²-2(m²-m-2)=4

                  =>4m²-2m²+2m+4=4

                  =>2m²+2m=0

                  =>2m(m+1)=0

                  =>\(\orbr{\begin{cases}2m=0\\m+1=0\end{cases}}\)

                  =>\(\orbr{\begin{cases}m=0\\m=-1\end{cases}}\)(thỏa mãn đk m lớn hơn hoặc bằng -2)

Câu 9:

a, Ta có: đenta=(-m)²-4(m-1)=m²-4m+4=(m-2)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0=>Pt luôn có nghiệm với mọi m