\(y=\frac{\frac{1-\cos4x}{2}+3\sin4x}{\cos4x-\sin4x+3}=\frac{6\sin4x-\cos4x+1}{2\cos4x-2\sin4x+6}\)

\(\Leftrightarrow\left(2y+1\right)\cos4x-\left(2y+6\right)\sin4x=1-6y\)(*)

(*) có nghiệm khi và chỉ khi: \(\left(2y+1\right)^2+\left(2y+6\right)^2\ge\left(1-6y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow-7y^2+10y+9\ge0\Leftrightarrow\frac{5-2\sqrt{22}}{7}\le y\le\frac{5+2\sqrt{22}}{7}\)

\(2\cos^3x=\sin3x\)

\(\Leftrightarrow2\cos^3x=-4sin^3x+3sinx\)

\(\Leftrightarrow2cos^3x+4sin^3x-3sinx=0\)

\(cosx=0\)

\(sinx=\pm1\)

\(\Leftrightarrow0\pm4-+3\ne0\)

\(cosx\ne0\)

\(t=tanx\)

\(\Leftrightarrow,2+4t^3-3\left(t^2+1\right)=0\)

\(4t^3-3t^2-1=0\)

\(\left(t-1\right)\left(4t^2+t+1\right)=0\)

\(t=1\)

\(tanx=tan\left(\frac{\pi}{4+k\pi}\right)\)

\(x=\frac{\pi}{4+k\pi}\left(k\inℤ\right)\)

\(sin2xcos2x+\frac{1}{4}=0\)   

\(\frac{1}{2}sin4x+\frac{1}{4}=0\)   

\(\frac{1}{2}sin2x=0-\frac{1}{4}\)   

\(\frac{1}{2}sin2x=-\frac{1}{4}\)   

\(sin2x=-\frac{1}{4}:\frac{1}{2}\)   

\(sin2x=-\frac{1}{2}\)   

\(sin2x=sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\)   

\(\orbr{\begin{cases}2x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\\2x=\pi-\left(-\frac{\pi}{6}\right)+k2\pi\end{cases}}\)   

\(\orbr{\begin{cases}2x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\\2x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi\end{cases}}\)   

\(\orbr{\begin{cases}x=\frac{-\pi}{12}+k\pi\\x=\frac{7\pi}{12}+k\pi\end{cases}}\)

\(sinxcosxcos2xcos4xcos8x=\frac{1}{16}\)   

\(\frac{1}{2}sin2xcos2xcos4xcos8x=\frac{1}{16}\)   

\(\frac{1}{4}sin4xcos4xcos8x=\frac{1}{16}\)   

\(\frac{1}{8}sin8xcos8x=\frac{1}{16}\)   

\(\frac{1}{16}sin16x=\frac{1}{16}\)   

\(sin16x=\frac{1}{16}:\frac{1}{16}\)   

\(sin16x=1\)   

\(16x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)    

\(x=\frac{\pi}{32}+\frac{k\pi}{8}\left(k\in Z\right)\)

Lời giải

Áp dụng BĐT (ac+bd)2≤(c2+d2)(a2+b2) .

Đẳng thức xảy ra khi ac=bd .

Ta có: (3sinx+4cosx)2≤(32+42)(sin2x+cos2x)=25

⇒–5≤3sinx+4cosx≤5⇒–4≤y≤6 .

Vậy maxy=6 , đạt được khi tanx=34 .

miny=–4 , đạt được khi tanx=–34 .

Dùng \(asinx+b.cosx=c\) cũng được :

C 2 : \(y-1=3sinx+4cosx\) ( * )

( * ) có no \(\Leftrightarrow3^2+4^2\ge\left(y-1\right)^2\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2\le25\) 

\(\Leftrightarrow-5\le y-1\le5\)

\(\Leftrightarrow-4\le y\le6\)

Xét Min \(y=-4\) ; ta có : \(3sinx+4cosx+1=-4\) 

\(\Leftrightarrow3sinx+4cosx=-5\)

Đến đây ; xét cos x = 0 hoặc cos x khác 0 ; rồi chia cho cos^2 x ; tìm được x ( bn tự làm ) 

Xét Max \(y=6\) ; làm tương tự như trên 

\(1.\hept{\begin{cases}2-2\cos x\ge0\\\sqrt{2-2\cos x}-2\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\cos x\le1\left(đ\right)\\\cos x\ne-1\end{cases}}\Leftrightarrow x\ne\pi+k2\pi\left(k\in Z\right)\)

\(2.\hept{\begin{cases}\sin3x\ne0\\1+\sin3x\ge0\\1-\sqrt{1+\sin3x}\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x\ne k\pi\\\sin3x\ge-1\left(đ\right)\\\sin3x\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow x\ne\frac{k\pi}{3}\left(k\in Z\right)\)

\(3.\hept{\begin{cases}\sin2x\ne0\\\sin x\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x\ne k\pi\\x\ne k\pi\end{cases}}\Leftrightarrow x\ne\frac{k\pi}{2}\left(k\in Z\right)\)