Ta có; \(\frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}=\frac{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}{x^2+xy+y^2}=x-y\)

Tương tự: \(\frac{y^3-z^3}{y^2+yz+z^2}=y-z;\frac{z^3-x^3}{z^2+zx+x^2}=z-x\)

\(\Rightarrow\frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{y^3-z^3}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^3-x^3}{z^2+zx+x^2}=x-y+y-z+z-x=0\)

\(\Rightarrow\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{y^3}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^3}{z^2+zx+x^2}=\frac{y^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{z^3}{y^2+yz+z^2}+\frac{x^3}{z^2+zx+x^2}\)

\(\Rightarrow2S=\frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{y^3+z^3}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^3+x^3}{z^2+zx+x^2}=\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy-y^2\right)}{x^2+xy+y^2}+\frac{\left(y+z\right)\left(y^2-yz+z^2\right)}{y^2+yz+z^2}\)\(+\frac{\left(z+x\right)\left(z^2-zx+x^2\right)}{z^2+zx+x^2}\)

Ta có BĐT phụ: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)

Chứng minh: \(3a^2-3ab+3b^2\ge a^2+ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2-4ab+2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2\ge0\)( đúng )

Áp dụng bđt trên ta có:

\(2S\ge\frac{1}{3}\left(x+y\right)+\frac{1}{3}\left(y+z\right)+\frac{1}{3}\left(z+x\right)=\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)=6\)

\(\Rightarrow S\ge3\)

Vậy MIN S=3 <=> x=y=z=3

Cho mình sửa 1 tí: dòng thứ 2 từ cuối lên bạn ghi thêm là :

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=3 

Vậy ...

\(\left(m+1\right)x^2+4mx+4m-1=0\left(1\right)\)

a) Thay m=-2 vào pt(1) ta được :

\(-x^2-8x-9=0\)

\(\Delta=28\)

\(\Rightarrow\)pt có 2 nghiệm pb \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{8+\sqrt{28}}{-2}=-4-\sqrt{7}\\x=\frac{8-\sqrt{28}}{-2}=-7+\sqrt{7}\end{cases}}\)

b)ĐK: \(m\ne-1\)

  \(\Delta_{\left(1\right)}=16m^2-4\left(4m-1\right)\left(m+1\right)\)

\(=16m^2-16m^2-12m+4\)

\(=-12m+4\)

Để pt (1) có 2 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\Delta>0\)

\(\Leftrightarrow-12m+4>0\)

\(\Leftrightarrow m< \frac{1}{3}\)và \(m\ne-1\)

c)  Theo hệ thức Vi-et ta có:

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-4m}{m+1}\\x_1.x_2=\frac{4m-1}{m+1}\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-4m}{m+1}\\x_1=2x_2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x_2=\frac{-4m}{m+1}\\x_1=2x_2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_2=\frac{-4m}{3m+3}\\x_1=\frac{-8m}{3m+3}\end{cases}\left(3\right)}\)

Thay (3) vào (2) ta được :

\(\frac{-8m}{3m+3}.\frac{-4m}{3m+3}=\frac{4m-1}{m+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{32m^2}{9\left(m+1\right)^2}=\frac{4m-1}{m+1}\)

\(\Rightarrow9\left(m+1\right)^2\left(4m-1\right)=32m^2\left(m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left[9\left(m+1\right)\left(4m-1\right)-32m^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow9\left(m+1\right)\left(4m-1\right)-32m^2=0\)( vì \(m\ne-1\))

\(\Leftrightarrow36m^2+27m-9-32m^2=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+27m-9=0\)

\(\Delta=27^2+4.4.9=873\)

\(\Rightarrow\)pt có 2 nghiệm pb \(\orbr{\begin{cases}m=\frac{-27+\sqrt{873}}{8}\left(tm\right)\\m=\frac{-27-\sqrt{873}}{8}\left(tm\right)\end{cases}}\)

Vậy m=...để pt (1) có 2 nghiệm pb x1=2x2

c nha mấy nhóc

Bạn thử kiểm tra lại đề xem có sai sót chỗ nào không nhé. 

đúng ko

cái định lý cos thiếu kìa

AC^2=AB^2+BC^2-2.AB.BC.cosABC 

AC^2=6^2+4^2-2.6.4.cos120=76

=>AC= căn bậc 2 của 76 = 2 căn bậc 2 19

\(P=x^2+xy+y^2-3\left(x+y\right)+3\)

\(2P=2x^2+2xy+2y^2-6x-6y+6\)

\(2P=x^2-2x+1+y^2-2y+1+x^2+y^2+4-4x-4y+2xy\)

\(2P=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x+y-2\right)^2\ge0\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=1\).

Áp dụng bất đẳng thức,cho 2 số không ân,ta có:

\(x^2+y^2\ge2\)

\(\sqrt{x^2}.\sqrt{y^2}=2.xy=2.6=12\)

Vậy P min=12,dấu "=" xảy ra khi:

\(x^2=y^2\Leftrightarrow x=y\)