Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\) \(\left(x,y,z>0\right)\)

Theo đề \(ab+bc+ca=3abc\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{3}{xyz}\)

\(\Rightarrow x+y+z=3\)

Và \(\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c+1}}+\sqrt{\frac{ca}{c+a+1}}\)

\(=\sqrt{\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{yz}}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+1}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{zx}}{\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+1}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\frac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\frac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\)

\(\ge\frac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\) (Cauchy Schwarz)

Ta có: \(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2}\)

\(\le\sqrt{3\left(x+y+xy+y+z+yz+z+x+zx\right)}\)

\(=\sqrt{\left[2\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+zx\right)\right]}\)

\(\le\sqrt{6+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\sqrt{6+\frac{3^2}{3}}=3\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c+1}}+\sqrt{\frac{ca}{c+a+1}}\)

\(\ge\frac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\ge\frac{9}{3}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=1\Rightarrow a=b=c=1\)

cảm ơn bạn :>

Tự vẽ hình nha, mình không biết vẽ hình trên này

* Cách vẽ: Vẽ trục tọa độ Oxy

Vẽ đường thẳng y = -3 (đường thẳng này đi qua điểm -3 trên trục Oy và song song với trục Ox)

Vẽ parabol \(y=mx^2\) nằm ở nửa mặt phẳng bờ Ox và âm của Oy (Khi đó parabol và đường thẳng y = -3 mới có điểm chung)

Gọi giao của Parabol với đường thẳng nói trên là A và B (A thuộc phần mặt phẳng có bờ là tia đối của tia Ox,Oy còn B là điểm còn lại đối xứng với A qua Oy)

AB cắt Oy tại H

* Bài làm:

Theo đề bài parabol và đường thẳng y = -3 cắt nhau tạo ra tam giác có diện tích là 10

\(\Rightarrow S_{OAB}=10\Leftrightarrow\frac{1}{2}\cdot\left|-3\right|\cdot AB=10\)

\(\Rightarrow AB=\frac{20}{3}\)\(\Rightarrow AH=BH=\frac{10}{3}\Rightarrow\left|x\right|=\frac{10}{3}\)

Khi đó tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng là \(\left(\frac{10}{3};-3\right);\left(-\frac{10}{3};-3\right)\)

Thay vào công thức parabol ta được: \(-3=\left(\frac{10}{3}\right)^2\cdot m\Rightarrow m=-\frac{27}{100}\)

Vậy \(m=-\frac{27}{100}\)

sửa đề, 2 nghiệm phân biệt nhé 

Để pt có 2 nghiệm pb thì \(\Delta>0\)

\(\Delta=16-4\left(-m^2-5\right)=16+4m^2+20=4m^2+36>0\forall m\)

Theo Vi et : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-4\\x_1x_2=\frac{c}{a}=-m^2-5\end{cases}}\)

mà \(\left(x_1+x_2\right)^2=16\Rightarrow x_1^2+x_2^2=16-2\left(-m^2-5\right)=2m^2+26\)

bình phương 2 hệ thức có dạng \(\left(x_1-x_2\right)^2=16\Rightarrow x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=16\)

\(\Leftrightarrow2m^2+26-2\left(-m^2-5\right)=16\)

\(\Leftrightarrow4m^2+36=16\Leftrightarrow4m^2=-20\Leftrightarrow m^2=-5\)vô lí 

\(x-2\sqrt{x-2}-5=0\)

\(\Leftrightarrow x-2-2\sqrt{x-2}+1-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1-2\right)\left(\sqrt{x-2}-1+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-3\right)\left(\sqrt{x-2}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x-2}-3=0\\\sqrt{x-2}+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=11\\x\in\theta\end{cases}}}\)

thank ~

Đặt \(x_1=x;x_2=y\)

\(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}=m-1\Leftrightarrow\frac{x^3+y^3}{x^2y^2}=m-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=\left(m-1\right)\left(xy\right)^2\)

thay vi et vô thooi :)) 

Ta có: \(\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{x^2-2x}.1\le\frac{x^2-2x+1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\ge\frac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}=\frac{2}{x-1}\)

\(A=x+\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\ge x-1+\frac{2}{x-1}+1\ge2\sqrt{\left(x-1\right).\frac{2}{x-1}}+1=1+2\sqrt{2}\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x^2-2x=1\\x-1=\frac{2}{x-1}\\x>2\end{cases}}\Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}\).

\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-\sqrt{3}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-\sqrt{xy}\)

\(=x+2\sqrt{xy}+y-\sqrt{3x}-\sqrt{3y}-\sqrt{xy}\)

\(=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2-\sqrt{3x}-\sqrt{3y}+3\sqrt{xy}\)

\(=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\sqrt{3x}\left(\sqrt{3y}-1\right)-\sqrt{3y}+1-1\)

\(=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{3x}-1\right)\left(\sqrt{3y}-1\right)-1\)\(\ge-1\forall x,y\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/3

\(\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge3\)

ÁP DỤNG BĐT COSI
\(\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{x+y}{2}+\frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}=x+y+1\ge3=>x+y\ge2\)

\(P\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=2\left(cosi\right)\) vậy min P=2 <=> x=y=1

                      Bài làm :

Ta có :

\(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{y}+\sqrt{x}+1\ge4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge3\)

Áp dụng BĐT cosi cho các số không âm ; ta được :

\(3\le\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{x+y}{2}+\frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}=x+y+1\)

\(\Rightarrow x+y\ge2\)

Ta có :

\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\)

\(\Rightarrow P\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

Vậy MinP = 2 <=> x=y=1