Gọi số học sinh của lớp 7a là x , lớp 7b là y 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{7}=\frac{y}{6}=\frac{x-y}{7-6}=\frac{7}{1}=7\)

x/7 = 7 => x = 49

y/6 = 7 => y = 42

Vậy số học sinh của lớp 7A là 49 , học sinh của lớp 7B là 42 

(*Áp dụng phương pháp giải toán hiệu tỉ khi đã biết hiệu và tỉ số của chúng.)

 - Số học sinh của lớp 7A là:

         7:(7-6)×7= 49 ( HS ) 

 - Số học sinh của lớp 7B là:

         49-7= 42 ( HS )

Vậy, lớp 7A có 49 học sinh và lớp 7B có 42 học sinh.( 7A-7B= 49-42= 7 học sinh ).

\(\frac{81}{3^y}=9\)

\(3^y=9=3^2;y=2\)

3^x =9 = 3²

Vậy x = 2

\(8^3:4^4=\frac{8^3}{4^4}=\frac{\left(2^3\right)^3}{\left(2^2\right)^4}=\frac{2^9}{2^8}=2\)

a) 3²

b)3²

c) 8³:4⁴= (2³)³:(2²)⁴= 2⁹:2⁸=2¹

222⁵⁵⁵ = (2.111)⁵⁵⁵ = 2⁵⁵⁵.111⁵⁵⁵ = (2⁵)¹¹¹.111⁵⁵⁵ = 32¹¹¹.111⁵⁵⁵

555²²² = (5.111)²²² = 5²²².111²²² = (5²)¹¹¹.111²²² = 25¹¹¹.111²²²

Vì 25 < 32 nên 25¹¹¹ < 32¹¹¹; 111²²² < 111⁵⁵⁵

=> 32¹¹¹.111⁵⁵⁵ > 25¹¹¹.111²²² => 222⁵⁵⁵ > 555²²²

2)  ta có 2⁹¹ = (2¹³)⁷ = 8192⁷; 5³⁵ = (5⁵)⁷ = 3125⁷ 

Vì 8192 < 3125 => 8192⁷ > 3125⁷ => 2⁹¹ > 5³⁵

a) Từ \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\)

\(\frac{a}{c}=\frac{a-b}{c-d}\Rightarrow\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\)

b) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow1+\frac{a}{b}=1+\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{b+a}{b}=\frac{d+c}{d}\)

vậy \(\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\)

a) Ta có \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\Rightarrow1-\frac{b}{a}=1-\frac{d}{c}\Rightarrow\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}\)

b) Ta có \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\Rightarrow1+\frac{b}{a}=1+\frac{d}{c}\Rightarrow\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}\)

\(\sqrt{1}<\sqrt{100}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(\sqrt{2}<\sqrt{100}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)

..................

\(\sqrt{99}<\sqrt{100}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{99}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{\sqrt{100}}\)

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được : 

\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{100}}>\frac{1}{\sqrt{100}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{100}{\sqrt{100}}=\frac{100}{10}=10\)

1/căn 1>1/10

1/ căn 2>1/10

...

1/căn 100>1/10

=>A>1/10.100=10

d,\(=\frac{1}{3^2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(3^2\right)^2=\frac{3^4}{3^3}=3\)

b,\(=2^2\cdot2^5:\left(2^3\cdot\frac{1}{2^4}\right)=2^7:\frac{1}{2}=2^7\cdot2=2^8\)

Xét số hạng tổng quát \(\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}\) . Vì \(0<\frac{1}{n}<1\) nên \(1<1+\frac{1}{n}<2\) => \(\sqrt[n+1]{1}<\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}<\sqrt[n+1]{2}<\sqrt{2}\)

=>  \(1<\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}<\sqrt{2}\approx1,41\) => phần nguyên các số có dạng \(\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}=1\)

A có n số hạng 

Vậy A = \(\left[\sqrt{\frac{2}{1}}\right]+\left[\sqrt[3]{\frac{3}{2}}\right]+\left[\sqrt[4]{\frac{4}{3}}\right]+...+\left[\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}\right]=1+1+1+..+1=n\)

a) ta có: \(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2.3};\frac{1}{4^2}<\frac{1}{3.4};....;\frac{1}{n^2}<\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

=> \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

Mà \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+..+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}<1\)

Nên \(A<1\)

b) \(B=\frac{1}{2^2}\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)=\frac{1}{4}.\left(1+A\right)\)

Mà A < 1 (theo câu a) nên \(B=\frac{1}{4}\left(A+1\right)<\frac{1}{4}\left(1+1\right)=\frac{1}{2}\)

Vậy.........

Dễ vcl

\(\left(\frac{3}{7}\right)^{21}:\left[\left(\frac{3}{7}\right)^2\right]^6=\left(\frac{3}{7}\right)^{21}:\left(\frac{3}{7}\right)^{12}=\left(\frac{3}{7}\right)^{21-12}=\left(\frac{3}{7}\right)^9\)