Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB<AC ), đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm D sao cho HD=HB, đường thẳng qua C vuông góc với AD tại E. Chứng minh:

a) Tứ giác AHEC nội tiếp.

b) CH là tia phân giác của góc ACE.

c) Biết AC=6 cm và góc ACB bằng 30 độ, tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH.

Tìm 2 số nguyên tố p, q sao cho (5^p - 2^p)(5^q - 2^q) chia hết cho p.q

1. Cho nửa đường tròn (O, R), điểm C nằm trên nửa đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By tại A và B của nửa đường tròn. OC cắt Ax tại D, đường vuông góc với OC cắt nửa đường tròn tại E, cắt By tại F.

a) Chứng minh: AD. BF không đổi và DF là tiếp tuyến của (O).

b) AE cắt OC tại G, BC cắt OE tại H. Chứng minh: CH. CB = EG. EA và bằng giá trị không đổi.

c) Gọi I là tiếp điểm của DF với (O). IG cắt BC tại K, IH cắt AE tại L. Chứng minh: KL // CE và A, K, L, B cùng thuộc một đường tròn (đồng viên)

2. Cho nửa đường tròn (O, R), điểm C chạy trên đường tròn sao cho số đo cung AC không lớn hơn 90^o. Kẻ các tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn. OC cắt tiếp tuyến tại A tại D, đường vuông góc với OC cắt nửa đường tròn tại E, cắt tiếp tuyến tại B tại F. Tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn cắt tiếp tuyến tại A tại M, tiếp tuyến tại E của nửa đường tròn cắt tiếp tuyến tại A tại N. AE cắt BC tại J. Chứng minh:

a) DF tiếp xúc với (O) và M, J, N thẳng hàng.

b) Gọi I là tiếp điểm của DF với (O). Chứng minh: MJ. JN \(\le\) DI. IF

c) Tìm quỹ tích của điểm J khi C di động mà thỏa mãn các điều kiện trong giả thiết.

3. Cho nửa đường tròn (O, R), P là điểm chính giữa của cung AB, điểm C chạy trên phần tư đường tròn chứa điểm A (C khác A và P). Kẻ các tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn. OC cắt tiếp tuyến tại A tại D, đường vuông góc với OC cắt nửa đường tròn tại E, cắt tiếp tuyến tại B tại F.

a) Chứng minh: DF có đúng 1 điểm chung với (O).

b) Gọi I là điểm chung đó, AE cắt BC tại J, AE cắt OC tại G, BC cắt OE tại H. Chứng minh: ICGJ, IEHJ nội tiếp và CE vuông góc với IJ.

c) Gọi K và L là giao của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ICGJ, IEHJ với CE. Chứng minh: GL. GI + HK. HI = GC² + HE² và tính diện tích lớn nhất của hình ICGJHE theo R.

d) Chứng minh: OG. OC + OH. OE \(\ge\) 2. OJ. OI. 

Cần các bạn giúp đỡ, đặc biệt là ý c, d của bài 3 ạ.

Bác Hải có 2 con trai. Anh cả đang ở độ tuổi thực hiên nghĩa vụ quân sự. Cứ mỗi lần có giấy gọi nhập ngũ, anh lại tìm cách trốn tránh nghĩa vụ quân sự.

Em có nhận xét gì về việc làm của con bác Hải ?

Nếu là hàng xóm của bác Hải thì em sẽ nói gì với anh con trai của bác ?