Cho (O) với dây $\mathrm{AB}$ cố định (AB không qua $\mathrm{O}$ ). Đường kính $\mathrm{CD}$ vuông góc với $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{H}$ (C thuộc cung lớn $\mathrm{AB}$ ). Điểm $\mathrm{M}$ di chuyển trên cung nhỏ $\mathrm{AC}(\mathrm{M} \neq \mathrm{A}$ và $\mathrm{M} \neq \mathrm{C})$. Đường thẳng $\mathrm{CM}$ cắt đường thẳng $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{N}$. Nối $\mathrm{MD}$ cắt $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{E}$.
a) Chứng minh tứ giác CMEH nội tiếp.
b) Chứng minh $\mathrm{NM} \cdot \mathrm{NC}=$ NA.NB.
c) Lấy điểm $\mathrm{P}$ đối xứng với $\mathrm{A}$ qua $\mathrm{O}$. Gọi I là trung điểm của $\mathrm{MC}$. Kẻ $\mathrm{IK}$ vuông góc với đường thẳng $\mathrm{AM}$ tại $\mathrm{K}$. Chứng minh $\mathrm{IK} / / \mathrm{MP}$ và điểm $\mathrm{K}$ thuộc một đường tròn cố định.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Để pt trên có 2 nghiệm pb thì \(\Delta>0\)
\(\Delta=4m^2-4m+1+20=\left(2m-1\right)^2+20>0\forall m\)( đpcm )
Câu a: Ta có \(\Delta\)= (1-2m)2-4.1.5= (2m-1)2+20>0 với mọi m
⇒Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Câu b:
Để phương trình có 2 nghiệm nguyên thì \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\left(luondung\right)\\S\in Z\\P\in Z\end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}2m-1\in Z\\-5\in Z\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}-\frac{1}{2y-1}=0\\2\sqrt{x-1}+\frac{1}{2y-1}=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2\sqrt{x-1}-\frac{2}{2y-1}=0\\2\sqrt{x-1}+\frac{1}{2y-1}=3\end{cases}}\)
Lấy (1) - (2) ta được : \(-\frac{2}{2y-1}-\frac{1}{2y-1}=-3\Leftrightarrow\frac{-3}{2y-1}=-3\)
\(\Rightarrow-6y+3=-3\Leftrightarrow y=1\)
Thay vào (2) ra được : \(2\sqrt{x-1}=2\Leftrightarrow x=1\)( tmđk \(x\ge1\))
Vậy hệ phương trình có một nghiệm ( x ; y ) = ( 1 ; 1 )
Đặt \(\sqrt{x-1}\)=A; \(\dfrac{1}{2y-1}\)=B(A>0;B khác 0) ta được:
A-B=0 ⇔ B=1
2A+B=3 A=B=1(cả 2 thỏa mãn)
Trở lại phép đặt: \(\sqrt{x-1}\)=1 ⇔ x=2
\(\dfrac{1}{2y-1}\)=1 y=1
Đặt \(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\rightarrow a,b,c\), ta có : \(a+b+c=1\)
Tìm min của \(A=\frac{ab}{\sqrt{5a^2+32ab+12b^2}}+\frac{bc}{\sqrt{5b^2+32bc+12c^2}}+\frac{ca}{\sqrt{5c^2+32ca+12a^2}}\)
đến đây thấy giống giống bài bất của HN năm nào ấy nhỉ ?
ĐK: \(x\ne0\).
\(x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}=\frac{27}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2+x+\frac{1}{x}=\frac{27}{4}\)
\(\Leftrightarrow t^2+t-\frac{35}{4}=0\)(với \(t=x+\frac{1}{x}\))
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=\frac{5}{2}\\t=-\frac{7}{2}\end{cases}}\)
Với \(t=\frac{5}{2}\):
\(x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x^2-\frac{5}{2}x+1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}\).
Với \(t=-\frac{7}{2}\):
\(x+\frac{1}{x}=\frac{-7}{2}\Leftrightarrow x^2+\frac{7}{2}x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{-7\pm\sqrt{33}}{4}\)
Ta có: \(5x^2-10x-4=0\)
\(\Delta^'=\left(-5\right)^2-5\cdot\left(-4\right)=45>0\)
=> PT có 2 nghiệm phân biệt
Khi đó theo hệ thức viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-\frac{4}{5}\end{cases}}\)
Khi đó: \(\frac{x_1}{1+\frac{x_2}{x_1}}+\frac{x_2}{1+\frac{x_1}{x_2}}=\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\frac{x_2^2}{x_1+x_2}\)
\(=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1+x_2}=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1+x_2}=\frac{2^2-2\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}=\frac{14}{5}\)
Bài làm :
Đường kính đáy và độ dài trục của hình trụ bằng nhau
=> Chiều cao h gấp 2 lần bán kính r
Ta có :
\(V=\pi.r^2.h\)
\(\Rightarrow16\pi=\pi.r^2.2r\)
\(\Rightarrow2.r^3=16\)
\(\Rightarrow r^3=8\)
\(\Rightarrow r=2\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow h=2r=4\left(cm\right)\)
Vậy diện tích vật liệu cần dùng là ;
\(S_{tp}=2.\pi.r.h+2.\pi.r^2=16\pi+8\pi=24\pi\left(cm^2\right)\)
Gọi số đo đường kính đáy của hộp sữa là x (cm)→ Trục của hộp sữa là x→Bán kính đáy là \(\dfrac{1}{2}x\)
Vì thể tích hộp sữa là 16\(\pi\)⇒\(\left(\dfrac{1}{2}x\right)^2x=16\)⇔x=4→Bán kính đáy là 2cm
⇒Stp=2.\(\pi\).22.4+2.\(\pi\).22=40\(\pi\)
Gọi chữ số hàng chục là của số cần tìm là \(x\)(điều kiện: \(3< x\le9;x\inℕ\)).
Chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là \(x-3\).
Vì tổng các bình phương của 2 chữ số là \(45\) nên ta có phương trình:
\(x^2+\left(x-3\right)^2=45\).
\(\Leftrightarrow x^2+x^2-6x+9-45=0\).
\(\Leftrightarrow2x^2-6x-36=0\).
\(\Leftrightarrow2\left(x^2-3x-18\right)=0\).
\(\Leftrightarrow x^2-3x-18=0\).
\(\Leftrightarrow\left(x-6\right)\left(x+3\right)=0\).
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-6=0\\x+3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=6\left(tm\right)\\x=-3\left(ktm\right)\end{cases}}\)(tm: Thỏa mãn; ktm: Không thỏa mãn).
\(\Leftrightarrow x=6\).
Do đó chữ số hàng đơn vị của chữ số cần tìm là \(6-3=3\).
Vậy số cần tìm là \(63\)
Bài làm :
Gọi x ; y lần lượt là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị .
Điều kiện : \(x,y\inℕ;x>3\)
Theo đề bài ; ta có hệ phương trình ;
\(\hept{\begin{cases}x=y+3\\x^2+y^2=45\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+3\\\left(y+3\right)^2+y^2=45\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+3\\y^2+6y+9+y^2-45=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+3\\2y^2+6y-36=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+3\\y^2+3y-18=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=3\end{cases}}\)
Vậy số cần tìm là 63
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\) \(\left(x,y,z>0\right)\)
Theo đề \(ab+bc+ca=3abc\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{3}{xyz}\)
\(\Rightarrow x+y+z=3\)
Và \(\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c+1}}+\sqrt{\frac{ca}{c+a+1}}\)
\(=\sqrt{\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{yz}}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+1}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{zx}}{\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\frac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\frac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\)
\(\ge\frac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\) (Cauchy Schwarz)
Ta có: \(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2}\)
\(\le\sqrt{3\left(x+y+xy+y+z+yz+z+x+zx\right)}\)
\(=\sqrt{\left[2\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+zx\right)\right]}\)
\(\le\sqrt{6+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\sqrt{6+\frac{3^2}{3}}=3\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c+1}}+\sqrt{\frac{ca}{c+a+1}}\)
\(\ge\frac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\ge\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=1\Rightarrow a=b=c=1\)
Tự vẽ hình nha, mình không biết vẽ hình trên này
* Cách vẽ: Vẽ trục tọa độ Oxy
Vẽ đường thẳng y = -3 (đường thẳng này đi qua điểm -3 trên trục Oy và song song với trục Ox)
Vẽ parabol \(y=mx^2\) nằm ở nửa mặt phẳng bờ Ox và âm của Oy (Khi đó parabol và đường thẳng y = -3 mới có điểm chung)
Gọi giao của Parabol với đường thẳng nói trên là A và B (A thuộc phần mặt phẳng có bờ là tia đối của tia Ox,Oy còn B là điểm còn lại đối xứng với A qua Oy)
AB cắt Oy tại H
* Bài làm:
Theo đề bài parabol và đường thẳng y = -3 cắt nhau tạo ra tam giác có diện tích là 10
\(\Rightarrow S_{OAB}=10\Leftrightarrow\frac{1}{2}\cdot\left|-3\right|\cdot AB=10\)
\(\Rightarrow AB=\frac{20}{3}\)\(\Rightarrow AH=BH=\frac{10}{3}\Rightarrow\left|x\right|=\frac{10}{3}\)
Khi đó tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng là \(\left(\frac{10}{3};-3\right);\left(-\frac{10}{3};-3\right)\)
Thay vào công thức parabol ta được: \(-3=\left(\frac{10}{3}\right)^2\cdot m\Rightarrow m=-\frac{27}{100}\)
Vậy \(m=-\frac{27}{100}\)
a. Xét (O) , có:
CD \(\perp\)AB = {H}
=> \(\widehat{CHA}=90^o\Rightarrow\widehat{CHE}=90^o\)
Có: \(\widehat{CMD}\)là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CD
=> \(\widehat{CMD}=90^o\Rightarrow\widehat{CME}=90^o\)
Xét tứ giác CMEH, có:
\(\widehat{CME}+\widehat{CHE}=90^o+90^o=180^o\)
2 góc \(\widehat{CME}\)và \(\widehat{CHE}\)là 2 góc đối nhau
=> CMEH là tứ giác nội tiếp (đpcm)
Câu a: Có góc CHE=90 độ (vì CD\(\perp AB\) tại H)
Góc CMD =90 độ(góc nt chắn nửa đt)
Mà góc CHE và góc CMD ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác CMEH nội tiếp
Câu b:
Xét \(\Delta NACva\Delta NMB\) có :
Góc N chung
Góc NCA = góc NBM (cùng chắn cung MA)
⇒ \(\Delta NAC\) đồng dạng \(\Delta NBM\) (góc góc)
⇒\(\dfrac{NM}{NA}\)=\(\dfrac{NB}{NC}\)⇔NM.NC=NA.NB
Câu c:
Có góc PMA=90 độ ( góc nt chắn nửa đt)→PM\(\perp\)AK
Mà IK\(\perp\)AK
⇒IK song song với MP (từ vuông góc đến song song