\(x.\left(x+1\right)=2+4+6+...+2500\)

Đặt \(A=2+4+6+...+2500\)

Số số hạng của A:

\(\left(2500-2\right):2+1=1250\) (số)

\(\Rightarrow A=\left(2500+2\right).1250:2=1563750\)

\(\Rightarrow x.\left(x+1\right)=1563750\)

\(x^2+x-1563750=0\)

\(x^2-1250x+1251x-1563750=0\)

\(\left(x^2-1250x\right)+\left(1251x-1563750\right)=0\)

\(x\left(x-1250\right)+1251\left(x-1250\right)=0\)

\(\left(x-1250\right)\left(x+1251\right)=0\)

\(\Rightarrow x-1250=0\) hoặc \(x+1251=0\)

*) \(x-1250=0\)

\(x=1250\)

*) \(x+1251=0\)

\(x=-1251\)

Vậy \(x=-1251;x=1250\)

Chú ý: Nếu đề yêu cầu tìm x là số tự nhiên thì loại x = -1251 và kết luận x = 1250

Thời gian Long phải chờ:

\(15-5=10\) (phút)

Chọn C

Lời giải:

Gọi $A=a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)$ là tích 5 số tự nhiên liên tiếp $(a\in\mathbb{N})$

Để cm $A\vdots 120$ thì ta sẽ cm $A\vdots 3,5,8$

Thật vậy:

Nếu $a\vdots 3$ thì hiển nhiên $A\vdots 3$

Nếu $a$ chia 3 dư $1$ thì $a+2\vdots 3\Rightarrow A\vdots 3$

Nếu $a$ chia 3 dư $2$ thì $a+1\vdots 3\Rightarrow A\vdots 3$

Vậy $a\vdots 3$

-----------

Tương tự, xét số dư của $a$ khi chia $5$ ta cũng cm được $A\vdots 5$

-----------

CM $A\vdots 8$.

Nếu $a$ chẵn. Đặt $a=2k$ với $k$ tự nhiên. Khi đó:

$A=2k(2k+1)(2k+2)(2k+3)(2k+4)=8k(2k+1)(2k+3)\vdots 8$

Nếu $a$ lẻ. Đặt $a=2k+1$ với $k$ tự nhiên. Khi đó:

$A=(2k+1)(2k+2)(2k+3)(2k+4)(2k+5)=4(2k+1)(2k+3)(2k+5)(k+1)(k+2)$

Vì $k+1, k+2$ là 2 số liên tiếp nên luôn có 1 số chẵn 1 số lẻ.

$\Rightarrow (k+1)(k+2)\vdots 2$

$\Rightarrow A=4(2k+1)(2k+3)(2k+5)(k+1)(k+2)\vdots 8$

Vậy $A\vdots 8$
Từ $A\vdots 3, 8,5$ suy ra $A\vdots 120$

Lời giải:

Vì $x$ là STN, $x\in B(12)$ nên $x\in\left\{0; 12; 24; 36; 48; 60;...\right\}$

Mà $x<50$ nên $x\in\left\{0; 12; 24; 36;48\right\}$

\(x\in B\left(12\right)\)

Mà: \(B\left(12\right)=\left\{0;12;24;36;48;60;72;84;96;108;...\right\}\)

Và: \(x< 50\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0;12;24;36;48\right\}\) 

Ước của 15:{1;3;5;15}

Ước của 20:{1;2;4;5;10;20}

Ước của 18:{1;2;3;6;9;18}

Lời giải:

a.

$A=1+3^2+3^4+....+3^{50}$

$3^2A=3^2+3^4+3^6+....+3^{52}$

$\Rightarrow 3^2A-A=(3^2+3^4+3^6+....+3^{52}) - (1+3^2+3^4+....+3^{50})$

$\Rightarrow 8A=3^{52}-1$
$\Rightarrow A=\frac{3^{52}-1}{8}$ (đpcm)

b.

Có: $8A=3^{52}-1=(3^4)^{13}-1=81^{13}-1$

$\Rightarrow 8A+1=81^{13}$ (đpcm)

\(A< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{99.100}=\)

\(=\dfrac{2-1}{1.2}+\dfrac{3-2}{2.3}+\dfrac{4-3}{3.4}+...+\dfrac{100-99}{99.100}=\)

\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}=1-\dfrac{1}{100}< 1\)

52+16<x9<45+25

=>68<x9<70

=>7.9+5<x9<7.9+7 mà 7.9+5<7.9+6<7.9+7

Nên 7.9+6=x9

             69=x9

           x=69/9=23/3

Vậy x=23/3

\(\left(x+35\right)-120=0\)

\(x+35-120=0\)

\(x-85=0\)

\(x=85\)

(x+35)-120=0

x+35=0+120

x+35=120

x=120-35

x=85

*) Chứng minh A ⋮ 5

Ta có:

A = 4¹⁹ + 4¹⁸ + ... + 4² + 4 + 1

= (4¹⁹ + 4¹⁸) + ... + (4³ + 4²) + (4 + 1)

= 4¹⁸.(4 + 1) + ... + 4².(4 + 1) + (4 + 1)

= 4¹⁸.5 + ... + 4².5 + 5

= 5(4¹⁸ + ... + 4² + 1) ⋮ 5

Vậy A ⋮ 5

*) Chứng minh A ⋮ 17

Ta có:

4¹⁹ + 4¹⁸ + ... + 4² + 4 + 1

= 4¹⁹ + 4¹⁸ + 4¹⁷ + 4¹⁶ + ... + 4³ + 4² + 4 + 1

= (4¹⁹ + 4¹⁸ + 4¹⁷ + 4¹⁶) + ... + (4³ + 4² + 4 + 1)

= 4¹⁶(4³ + 4² + 4 + 1) + ... + (4³ + 4² + 4 + 1)

= 4¹⁶.85 + ... + 85

= 85.(4¹⁶ + ... + 1) ⋮ 17 (vì 85 ⋮ 17)

Vậy A ⋮ 17

sorry bn tui hỏng bt