\(a,sin2x-2sinx+cosx-1=0\)

\(\Leftrightarrow2sinxcosx-2sinx+cosx-1=0\)

\(\Leftrightarrow2sinx\left(cosx-1\right)+cosx-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(cosx-1\right)\left(2sinx+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}cosx=1\\sinx=-\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2k\pi\\x=\frac{-\pi}{6}+2k\pi\end{cases}}}\)

\(b,\sqrt{2}\left(sinx-2cosx\right)=2-sin2x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sinx-2\sqrt{2}cosx-2+2sinxcosx=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sinx\left(1+\sqrt{2}cosx\right)-2.\left(\sqrt{2}cosx+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2}cosx+1\right)\left(\sqrt{2}sinx-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}cosx=\frac{-\sqrt{2}}{2}\\sinx=\frac{2\sqrt{2}}{2}\left(l\right)\end{cases}}\)(vì \(-1\le sinx\le1\))

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\\x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi\end{cases}}\)

\(c,\frac{1}{cosx}-\frac{1}{sinx}=2\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{sinx-cosx}{sinx.cosx}=2\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{sinx.cosx}=2\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(\Leftrightarrow sin2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow sin2x=-1\)

\(\Leftrightarrow2x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{3\pi}{4}+k\pi\)

100 + 9900 = 10000

ta có 

\(-1\le cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\le1\Leftrightarrow-2\le2cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\le2\)

\(\Leftrightarrow5\le5+2cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\le7\Leftrightarrow\sqrt{5}\le\sqrt{5+2cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)}\le\sqrt{7}\)

Vậy \(2-3\sqrt{5}\ge y\ge2-3\sqrt{7}\)

vậy \(\hept{\begin{cases}min\left(y\right)=2-3\sqrt{7}\\max\left(y\right)=2-3\sqrt{5}\end{cases}}\)

Ta thấy tâm vị tự \(I\left(1;-1\right)\) cũng là tâm của đường tròn \(\left(C\right)\). Do đó \(\left(C'\right),\left(C\right)\) đồng tâm

Suy ra tỉ số vị tự \(k=\frac{R'}{R}=\frac{IM}{R}=\frac{5}{4}\) thì \(\left(C'\right)\) đi qua M.

\(f\left(x\right)=-x^3-2x^2+mx-3\)

\(f'\left(x\right)=-3x^2-4x+m\)

\(f'\left(x\right)>0\Leftrightarrow-3x^2-4x+m>0\Leftrightarrow m>3x^2+4x\)(đúng với mọi \(x\in\left(0,1\right)\))

suy ra \(m\ge max\left(3x^2+4x\right)\)với \(x\in\left[0,1\right]\).

Xét hàm \(g\left(x\right)=3x^2+4x\)với \(x\in\left[0,1\right]\).

\(g'\left(x\right)=6x+4\)

\(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow6x+4=0\Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}\notin\left[0,1\right]\).

\(g\left(0\right)=0,g\left(1\right)=7\)

suy ra \(g_{max}=7\)

do đó \(m\ge7\).

Mà \(m\)nguyên, \(m\in\left[-2021,2021\right]\)nên có tổng cộng: \(2021-7+1=2015\)giá trị của \(m\)thỏa mãn. 

Mình làm được đến đây thôi, thông cảm nhé!