Để phương trình có hai nghiệm thì \(\Delta'>0\).

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2+\left(m-1\right)=m^2-3m+3=\left(m-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\).

Theo Viet: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1x_2=-m+1\end{cases}}\)

\(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+4x_1^2x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2+4x_1^2x_2^2\)

\(=4\left(m-2\right)^2+4\left(m-1\right)+4\left(m-1\right)^2=4\left(2m^2-5m+4\right)=4\)

\(\Leftrightarrow2m^2-5m+4=1\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{3}{2}\\m=1\end{cases}}\)

\(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{5+2\sqrt{6}}}{\sqrt{2}+\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{7+2\sqrt{10}}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{9+2.3.\sqrt{2}+2}-\sqrt{3+2.\sqrt{2}\sqrt{3}+2}}{\sqrt{2}+\sqrt{5+2\sqrt{5}+1}-\sqrt{5+2.\sqrt{5}\sqrt{2}+2}}\)

\(=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{\left(3+\sqrt{2}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2}}{\sqrt{2}+\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)^2}}=\frac{\sqrt{3}+3+\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{5}+1-\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}=3\)

mình làm bằng 0 nhé

Đặt A = \(\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}\)

\(\sqrt{2}A=\sqrt{8-2\sqrt{7}}-\sqrt{8+2\sqrt{7}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{7}\right)^2-2\sqrt{7}+1}-\sqrt{\left(\sqrt{7}\right)^2+2\sqrt{7}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{7}-1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{7}+1\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{7}-1\right|-\left|\sqrt{7}+1\right|=\sqrt{7}-1-\sqrt{7}-1=-2\)

\(\Rightarrow A=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\)

\(\left(P\right):y=2x^2\)

\(d:y=mx+1\)

Xét phương trình: \(2x^2-mx-1=0\)có \(\Delta=m^2+8>0\forall m\)

Suy ra (P) và d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Giả sử \(x_1,x_2\)là hai nghiệm của PT trên, theo hệ thức Viet: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{m}{2}\\x_1x_2=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\frac{m^2+8}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|=\frac{\sqrt{m^2+8}}{2}\)

Xét hệ \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=mx+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\), suy ra d cắt Oy tại M(0;1) \(\Rightarrow OM=1\)

Khi đó: \(S_{OAB}=\frac{1}{2}.1.\frac{\sqrt{m^2+8}}{2}=\frac{\sqrt{m^2+8}}{4}=\frac{3m}{2}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>0\\m^2+8=36m^2\end{cases}}\Leftrightarrow m=\frac{2\sqrt{70}}{35}\)

A I B H C D

a) Xét tứ giác BHDI có :

\(\widehat{BID}=90^o\)

\(\widehat{BHD}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BID}+\widehat{BHD}=180^o\)

Mà 2 góc \(\widehat{BID}\)và \(\widehat{BHD}\)là 2 góc đối nhau

=> Tứ giác BHDI nội tiếp

b) Ta có \(BD\perp AC\); \(DI\perp AB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác 

\(\Rightarrow BD^2=BI.BA\)

Tương tự cũng có : \(BD^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow BI.BA=BH.BD\)

Ta lại có :

\(\widehat{ABD}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}-\widehat{BAD}=90^o-\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\widehat{CBO}\)

\(x+\sqrt{x^2+3}=t,t>0\Rightarrow t^2=2x^2+3+2x\sqrt{x^2+3}\)

Phương trình ban đầu tương đương với: 

\(t^2+t-12=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=-4\left(l\right)\\t=3\left(tm\right)\end{cases}}\)

\(t=3\Rightarrow x+\sqrt{x^2+3}=3\Rightarrow x^2+3=9-6x+x^2\Leftrightarrow x=1\).

Thử lại ta thấy thỏa mãn.