Nhiếu cách chứng minh cho BĐT AM-GM (3 số dương).

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

Chắc hẳn mỗi người chúng ta đều biết đến cách c/m: "\(VT-VP=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\). Chắc chắn đây là cách chứng minh thông minh nhất, bởi tính sơ cấp của nó. Vậy liệu bạn còn tìm được cách chứng minh nào nữa không? (đừng bảo mình là áp dụng bđt AM-GM cho 3 số nhé! Vì ta đang chứng minh nó mà:)) 

Cập nhật: Đây là 1 cách mình vừa tìm ra:(dù ko chắc nhưng vẫn đăng để mọi người tìm lỗi cho mình:v)

Không mất tính tổng quát giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\).Ta có:

\(VT-VP=\frac{1}{3}\left(a+2b+3c\right)\left(a-b\right)^2+\frac{1}{3}\left(b+2c\right)\left(b-c\right)^2+\frac{1}{3}\left(c+2a\right)\left(c-a\right)^2+b\left(a-c\right)\left(b-c\right)\ge0\)

---------------------------------------------Bài viết vẫn còn tiếp tục cập nhật-------------------------------------------

Bài 1:Giải pt(không dùng máy tính)

a)\(x=\sqrt[3]{4x^2-x-6}\)

b)\(\sqrt{x}^3=\left(\sqrt{x}-4\right)^2\)

c)\(x^4-x^2+1=-x^2+4x-2\)

Bài 2:Cho f(x)=(a-89)(a-90)x+1 

Biết a=\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{2019}}\)

Cho \(m=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2020\sqrt{2019}+2019\sqrt{2020}}\)

      \(n=\sqrt[3]{\sqrt{10}-\sqrt{3}}\)

So sánh \(f\left(m\right)\)và \(f\left(n\right)\)

Bài 3.Cho (d):\(y=\left(m^2+1\right)x-3m^2+1\)(m là tham số)

Lấy N(-1;7).Kẻ NH vuông góc với (d) ở H sao cho NH=5 cm.

a)Tìm m

b)Gọi d1;d2;...;d2019 đồng quy với NH tại 1 điểm thuộc đoạn NH.Gọi h1;h2;...;h2019 lần lượt là khoảng cách từ O đến d1;d2;...;d2019.

Tìm max của h1+h2+...+h2019.

Bài 4:Cho tam giác ABC nhọn.AH vuông BC ở H.Phân giác BM của góc ABC (M thuộc AC).Kẻ CE vuông AB ở E.CE cắt BM ở l.AH cắt BM ở F.CMR:BM.BI.BA=BC.BH.BK

Bài 5:Cho tam giác ABC nhọn.CMR:tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC.

Bài 6:Cho 2005 điểm thuộc cùng 1 mặt phẳng(không có điểm nào trùng nhau) sao cho trong 3 điểm bất kì ta luôn tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 25 cm.CMR tồn tại 1 đường tròn bán kính 25 cm chứa ít nhất 1003 điểm trên

Tính:

a) \(\frac{20^5.5^{10}}{100^5}\)                                                         b) \(\frac{\left(0.9\right)^5}{\left(0,3\right)^6}\)                                                        c) \(\frac{4^6.9^5+6^9.120}{8^4.3^{12}-6^{11}}\)