đk: \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x\ne y\end{cases}}\)

\(A=\frac{x}{\sqrt{xy}-y}+\frac{y}{\sqrt{xy}+x}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\)

\(A=\frac{x}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\sqrt{y}}+\frac{y}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\sqrt{x}}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\)

\(A=\frac{x\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+y\sqrt{y}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)-\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\sqrt{xy}}\)

\(A=\frac{x^2+x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}-y^2-x^2+y^2}{\left(x-y\right)\sqrt{xy}}\)

\(A=\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{\left(x-y\right)\sqrt{xy}}=\frac{x+y}{x-y}\)

đk: \(x\ge0;x\ne16\)

\(\frac{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+28}{x-3\sqrt{x}-4}-\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}-4}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+28-\left(\sqrt{x}-4\right)^2-\left(\sqrt{x}+8\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+28-x+8\sqrt{x}-16-x-9\sqrt{x}-8}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-2x-3\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}\)

\(=\frac{\left(x\sqrt{x}-x\right)-\left(x-\sqrt{x}\right)-\left(4\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x-\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}\)

:vvv

Hok tốt

MO là trung trực của AI => MO vuông góc AI, có BI vuông góc AI => MO || BI

Ta thấy MA.MI là hai tiếp tuyến kẻ từ M đến (O), MCD là cát tuyến của (O), do đó (ICAD)=−1(ICAD)=−1

Vì B nằm trên (O) nên B(ICAD)=−1B(ICAD)=−1, mà MO || BI, MO cắt BC,BA,BD tại E,O,F nên O là trung điểm EF.

Thnk bạn

Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{2}{y};c=\frac{3}{z}\)

Theo bài ra, ta có:

 x+y+z=3

\(bđt\Leftrightarrow\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{3}{2}\)

Áp dụng kĩ thuật Cau-chy ngược dấu ta có:

\(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra <=> a=3;b=2;c=1

*Bài khá giống bạn kia :)

Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{2}{y};c=\frac{3}{z}\)

\(\Rightarrow x+y+z=3\)

BĐT cần chứng minh trở thành :

\(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{3}{2}\)

Áp dụng kĩ thuật Cô Si ngược dấu ta có :

\(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=3;b=2;c=1\) 

Đây mik ko bt lm phần d bạn tham khảo nhé

\(\hept{\begin{cases}2x+y=5m-6\\x-2y=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x+y=5m-6\\2x-4y=4\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}5y=5m-10\\x-2y=2\end{cases}}}\)

\(\left(1\right)\Rightarrow y=\frac{5m-10}{5}=m-2\)

Thay vào phương trình (2) ta được : 

\(x-2\left(m-2\right)=2\Leftrightarrow x=2+2m-4=2m-2\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) = ( 2m - 2 ; m - 2 ) (*)

Thay (*) vào biểu thức trên ta được : 

\(2\left(2m-2\right)^2-\left(m-2\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow2\left(4m^2-8m+4\right)-m^2+4m-4=4\)

\(\Leftrightarrow8m^2-16m+8-m^2+4m-4=4\)

\(\Leftrightarrow7m^2-12m=0\Leftrightarrow m\left(7m-12\right)=0\Leftrightarrow m=0;m=\frac{12}{7}\)

\(\hept{\begin{cases}2x+y=5m-6\\2x-4y=4\end{cases}}\)

\(5y=5m-10\)

\(y=m-2\)

\(\hept{\begin{cases}2x+y=5m-6\\2x-4y=4\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}2x+\left(m-2\right)=5m-6\\2x-4\left(m-2\right)=4\end{cases}}}\)

\(< =>x-2\left(m-2\right)=2\)

\(x-2m+4=2\)

\(x=2m-2\)

\(< =>2x^2-y^2=4\)

\(2\left(4m^2-8m+4\right)-\left(m^2-4m+4\right)\)

\(8m^2-16m+8-m^2+4m-4-4=0\)

\(7m^2-12m=0\)

\(m\left(7m-12\right)=0\)

\(\orbr{\begin{cases}m=0\\m=\frac{12}{7}\end{cases}}\)

ĐK : x ≥ 0

Xét hiệu M - M² ta có : M - M² = M( 1 - M )

\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\left(1-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\)(1)

Dễ chứng minh (1) > 0 ∀ x ≥ 0

=> M - M² > 0 <=> M > M²

Vậy ...