Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c>0\)

\(BĐT< =>\frac{a\left(b+c\right)\left(c+a\right)+b\left(a+b\right)\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{3}{2}\)

\(< =>\frac{ac^2+ba^2+cb^2+\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc}\ge\frac{3}{2}\)

\(< =>2\left[ac^2+ba^2+cb^2+\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\right]\ge3\left[\left(a+b+c\right)\left(...\right)-abc\right]\)

\(< =>2\left(ac^2+a^2b+cb^2\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)

\(< =>ac^2+a^2b+cb^2\ge ca^2+ab^2+c^2b\)

\(< =>\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(a-b\right)\ge0\)(đúng)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ta có bất đẳng thức sau \(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)( cm = bunhia phân thức )

\(< =>1+\frac{a+b}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}+1+\frac{b+c}{a+b}+\frac{b+c}{c+a}+1+\frac{c+a}{a+b}+\frac{c+a}{b+c}\ge9\)

\(< =>\frac{a}{a+b}+\frac{2a}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge6\)(*)

Đặt \(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\);\(B=\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+b}\);\(C=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

Khi đó bất đẳng thức (*) tương đương với \(A+B+2C\ge6\)

Do\(A+B=3\)\(=>2C\ge3=>C\ge\frac{3}{2}\)

Suy ra \(A+B+C\ge6-\frac{3}{2}=\frac{12-3}{2}=\frac{9}{2}\)(1)

Xét tổng :\(B+C=\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+a}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\ge3\)(AM-GM) (2)

Từ (1) và (2) ta được \(A\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)

Done !

tui ko bít :)

lô,tôi không biết

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

\(\Delta'>0\Leftrightarrow M^2+4>0\) luôn đúng

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi M

Ta có : \(\Delta=\left(2m\right)^2-4\left(-4\right)=4m^2+16\ge16>0\)* luôn đúng *

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

a. để hàm số đi qua M(-1,1) thì ta có 

\(1=\left(2m-1\right)\times\left(-1\right)+m+1\Leftrightarrow m=1\)

b.Hàm số cắt trụ tung tại điểm \(A\left(0,m+1\right)\)

Hàm số cắt trục hoành tại điểm \(B\left(\frac{-m-1}{2m-1},0\right)\)

Để OAB là tam giác cân thì ta có \(OA=OB\ne0\Leftrightarrow\left|m+1\right|=\left|\frac{-m-1}{2m-1}\right|\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left|2m-1\right|=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=0\\m=1\end{cases}}\)

a, Để đồ thị đi qua điểm M(-1;1) thì ta thay  x = -1, y = 1 vào hàm số ta có:

\(1=\left(2m-1\right).\left(-1\right)+m+1\)

=>\(m=1\)

b,\(y=\left(2m-1\right)x+m+1\)

 Cho \(x=0=>y=m+1=>OA=|m+1|\)

 Cho \(y=0=>x=\frac{-m-1}{2m-1}=>B\left(\frac{-m-1}{2m-1};0\right)\)

\(=>OB=|\frac{-m-1}{2m-1}|=\frac{|m+1|}{|2m-1|}\)

\(\Delta AOB\)cân \(< =>\hept{\begin{cases}OA=OB\\OA>0\end{cases}}< =>\hept{\begin{cases}|m+1|\\|m+1|>0\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}|2m-1|\\m\ne-1\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}2m-1=1\\2m-1=-1\end{cases}}}< =>\hept{\begin{cases}m=1\\m=0\end{cases}}\)

Vậy với m = 0 hoặc m = 1 thì đồ thị hàm số thỏa mãn yêu cầu của bài toán

\(\frac{ab}{a+b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\) 

Làm tương tự với 2 phân thức còn lại rồi cộng vào ra đpcm 

em thi cấp 2:(((cẳng thẳng ko kém

Không đăng lên đây chị nhé 

Chị trả lời câu hỏi của The Pie thôi nha

Mà chúc các anh chị thi tốt

;v Ko ai làm hộ cái bài linh tinh này đâu trừ khi bạn cho họ hộp sữa Ông Thọ real ;v

1. 1) Thay x = 16 vào biểu thức A ta được

\(A=\frac{\sqrt{16}-1}{2\sqrt{16}}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{4-1}{2.4}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{3}{8}\)

Vậy khi x = 16 thì biểu thức A =\(\frac{3}{8}\)

1. 2)\(B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{3}{x-3\sqrt{x}}\)

\(\Leftrightarrow B=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{3}{x-3\sqrt{x}}\)

\(\Leftrightarrow B=\frac{\left(x-\sqrt{x}\right)+\left(\sqrt{x}-3\right)+3}{x-3\sqrt{x}}\)

\(\Leftrightarrow B=\frac{x-\sqrt{x}+\sqrt{x}-3+3}{x-3\sqrt{x}}\)

\(\Leftrightarrow B=\frac{x}{x-3\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)

Vậy \(B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)

2. 2) Thể tích đáy là \(\pi.R^2.h=192\pi cm^3\)

\(\Leftrightarrow R^2.h=192\)\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{3}h\right)^2.h=192\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{9}h^2.h=192\Leftrightarrow\frac{h^3}{9}=192\Leftrightarrow h^3=192.9\Leftrightarrow h^3=1728\Leftrightarrow h\approx12\left(cm\right)\)

=> R = 1/3 h <=> R = 4 (cm)

Vậy diện tích vỏ hộp sữa là\(2\pi.R.h+2\pi R^2=2\pi.4.12+2\pi.4^2=2\pi.64=128\pi\left(cm^2\right)\)

a) Sđ(CM = Sđ(BC => ^BDC = ^MAC hay ^IDP = ^PAI => ADPI nội tiếp

b) Theo câu a: ^API = ^ADI = ^AMB => IP || MQ, tương tự IQ || MP. Suy ra MPIQ là hình bình hành => PI =MQ

c) Dễ thấy I là tâm nội tiếp tam giác ABC => N là điểm chính giữa cung nhỏ AB => N cố định

Đường tròn (O) có MN là dây cung => Trung điểm của MN nằm trên đường tròn đường kính ON cố định

Giới hạn quỹ tích: NA,NB cắt (ON) tại E và F khác N, vậy thì trung điểm MN chạy trên cung lớn EF của (ON).