\(\sqrt{21-4\sqrt{17}}=\sqrt{21-2.2\sqrt{17}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{17}\right)^2-2.2\sqrt{17}+4}=\sqrt{\left(\sqrt{17}-2\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{17}-2\right|=\sqrt{17}-2\)vì \(\sqrt{17}-2>0\)

Cách giải tương tự bài trước vẫn là dạng \(\sqrt{a-b\sqrt{c}}\)   

\(\sqrt{21-4\sqrt{17}}\)   

\(=\sqrt{17-4\sqrt{17}+4}\)   

\(=\sqrt{\left(\sqrt{17}\right)^2-2\cdot\sqrt{17}\cdot2+2^2}\)   

\(=\sqrt{\left(\sqrt{17}-2\right)^2}\)   

\(=|\sqrt{17}-2|\)   

\(=\sqrt{17}-2\)

\(\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}=\left|\sqrt{3}-1\right|=\sqrt{3}-1\)vì \(\sqrt{3}-1>0\)

Cách giải bài toán có dạng \(\sqrt{a-b\sqrt{c}}\left(a+b\sqrt{c}\right)\)    

Dùng máy tính sử dụng phương trình bậc 2 

ô đầu bấm 1 

ô thứ 2 bấm -a 

ô thứ 3 bấm \(\frac{\left(b\sqrt{c}\right)^2}{4}\)   

Máy sẽ ra hai nghiệm x1 x2 

Khi đó bài toán có dạng \(\sqrt{\left(\sqrt{x1}-\sqrt{x2}\right)^2}\)

\(\sqrt{4-2\sqrt{3}}\)   

\(=\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}\)   

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2-2\cdot\sqrt{3}\cdot1+1^2}\)   

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\)   

\(=|\sqrt{3}-1|\)   

\(=\sqrt{3}-1\)

Vì CH là đường cao nên CH vuông BC 

\(BC^2=BH^2+CH^2\)(1) 

\(AC^2=AH^2+HC^2\)(2) 

Lấy (1) - (2) ta được : 

\(BC^2-AC^2=BH^2-AH^2\)

mà tam giác ABC cân nên CH là đường cao hay CH là trung tuyến 

\(\Rightarrow BC^2-AC^2=0\Rightarrow BC^2=AC^2\)

lại có : \(AC^2=AB^2\Rightarrow BC^2=AB^2=AB.AB=2BH.AB\)( đpcm )

https://www.googleadservices.com/pagead/aclk?sa=L&ai=C1xTO4p68YNz8KZW9qAHPy5LIDMmr6qNg0NOfg5kLwI23ARABINzsuC5gwQWgAZ7U484DyAEBqQINxZei7dzHPagDAcgDwwSqBMsBT9BTpRx9neIyrGO0O1963KuNmKBbxmGUtm-UAFO5AJXWfGhNypiODjI2tMBBsAxtTOKP603Lj3je5QQRx3ovhk8kcnnZ93EdoUFKtIfQ7jNaTP1DRpyH3y7auZXCUyvspX9qBZEFNAcV6T0_zEqR9ahsF-pKVxzj0G4oSE7mhCvi1sG4B097ERVJq_aNPyK_D7SmVwoVrcjkAfcWeX7qSdiA0lC5ml0043ZOXX-lVQaHdEX1us_fzL7ZFFc6436j-L8Q9e9-AVNaNvzABKml1oj1AqAGUYAHyqucMagHipyxAqgH1ckbqAfw2RuoB_LZG6gHjs4bqAeT2BuoB7oGqAfulrECqAemvhuoB-zVG6gH89EbqAfs1RuoB5bYG9gHAdIIBwiAYRABGB-xCelDaA8avH1pgAoBmAsByAsBuAwB2BMN0BUBmBYBgBcB&ae=1&num=1&cid=CAASEuRosVrTt0fMF44rjoYpSKVXWQ&sig=AOD64_3I3-_NQIpH8DjLwEZVT3ytqgp_Iw&client=ca-pub-2208223212947843&nb=1&adurl=https://hoidap247.com/%3Fgclid%3DEAIaIQobChMI3PWZ--GC8QIVlR4qCh3PpQTJEAEYASAAEgJrHfD_BwE

Độ dài bán kính đáy là: \(r=\frac{40}{2}=20\left(cm\right)\).

Độ dài đường sinh là: \(l=\sqrt{20^2+25^2}=5\sqrt{41}\left(cm\right)\).

Diện tích phần bìa cứng để làm chiếc mũ là: \(S=\pi rl\approx2010,58\left(cm^2\right)\).

a) Ta có ^EBI = 1/2(^ABC + ^BAC) = ^EIB => EI = EB  (1)

^EFB = 180⁰ - ^BAC/2 = ^EBK => \(\Delta\)EFB ~ \(\Delta\)EBK => EB² = EF.EK (2)

(1);(2) => EI² = EF.EK (đpcm).

b) Định nghĩa lại các điểm như sau: K' nằm trên tia đối tia BC sao cho CK' = CA, AK' giao IB tại P', EK' cắt lại (O) tại F'.

Ta dễ có ^CK'I = ^CAI = ^BAI => (A,I,B,K')_cyc 

=> ^AP'I = 180⁰ - ^P'AI - ^AIP' = 180⁰ - ^ABC/2 - 90⁰ - ^ACB/2 = ^BAC/2 = ^K'F'B

=> (K',P',F',B)_cyc => ^K'F'B = ^K'BP' = ^ABC/2 = ^K'AD (3)

Tương tự câu a ta có EF'.EK' = EI² = ED.EA => (A,K',F',D)_cyc => ^K'AD = 180⁰ - ^K'F'D (4)

(3);(4) => P',F',D thẳng hàng

Từ đây suy ra: DF'.DP' = DB.DK' = DI.DA => (A,I,P',F')_cyc 

Mà (AIP') tiếp xúc với AC vì ^IAC = ^IP'A = ^BAC/2 nên F' trùng với F, dẫn đến K' trùng K và P' trùng P

Vì A,K',P' thẳng hàng nên A,K,P thẳng hàng (đpcm).

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

<=> \(\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\ge\frac{9}{2}\)

<=> \(2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)

<=> \(\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)

<=> \(\frac{a+b}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}+1+1+\frac{b+c}{c+a}+\frac{b+c}{a+b}+\frac{c+a}{b+c}+1+\frac{c+a}{a+b}\ge9\)

<=> \(\left(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\right)+\left(\frac{a+b}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}\right)+\left(\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{b+c}\right)\ge6\)(đúng)

=> ĐPCM

Mình làm cách đơn giản nhất nhá :))

Ta có:

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+3=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{9\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}\left(Cauchy-Schwarz\right)\)

Hay \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+3\ge\frac{9}{2}\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)