Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c\(\ge\)6. Tìm min
\(P=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{a+c}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a+b}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3 tháng 1 2022
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, có:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(4^2+1^2\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+\frac{1}{a}\right)\\\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(4^2+1^2\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(4b+\frac{1}{b}\right)\end{cases}}\)
Lúc này được \(P\ge\frac{1}{\sqrt{17}}[4\left(a+b\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)]\)
Thấy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Áp dụng BĐT Cauchy và đề bài được
\(P\ge\frac{1}{\sqrt{17}}[4\left(a+b\right)+\frac{4}{a+b}]\)
\(=\frac{1}{\sqrt{17}}[\frac{a+b}{4}+\frac{4}{a+b}+\frac{15\left(a+b\right)}{4}]\ge\frac{1}{\sqrt{17}}[2+15]=\sqrt{17}\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{4}=\frac{1}{a}\\\frac{b}{4}=\frac{1}{b}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=2\)