Cho các số dương x y z ; thỏa mãn \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}\) \(+z\sqrt{1-x^2}\)=\(\frac{3}{2}\). Tính giá trị biểu thức A=\(x^2+y^2+z^2\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, \(B=\frac{\sqrt{a}+3}{2\sqrt{a}-6}-\frac{3-\sqrt{a}}{2\sqrt{a}+6}=\frac{\left(2\sqrt{a}+6\right)\left(\sqrt{a}+3\right)+\left(2\sqrt{a}-6\right)\left(\sqrt{a}-3\right)}{4a-36}\)
\(=\frac{2a+12\sqrt{a}+18+2a-12\sqrt{a}+18}{4a-36}=\frac{4a+36}{4a-36}=\frac{a+9}{a-9}\)
b, Ta có : \(B>1\Rightarrow\frac{a+9}{a-9}>1\Leftrightarrow\frac{a+9}{a-9}-1>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+9-a+9}{a-9}>0\Leftrightarrow\frac{18}{a-9}>0\Rightarrow a-9>0\Leftrightarrow a>9\)vì 18 > 0
\(B< 1\Rightarrow\frac{a+9}{a-9}< 1\Leftrightarrow\frac{a+9}{a-9}-1< 0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+9-a+9}{a-9}< 0\Leftrightarrow\frac{18}{a-9}< 0\Rightarrow a-9< 0\Leftrightarrow a< 9\)vì 18 > 0
c, Ta có : \(B=4\Rightarrow\frac{a+9}{a-9}=4\Rightarrow a+9=4a-36\Leftrightarrow3a=45\Leftrightarrow a=15\)
Vậy a = 15 thì B = 4
A B C H 12
a, Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A
\(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow BC^2=\left(\frac{3}{5}BC\right)^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2=\frac{16}{25}BC^2\Leftrightarrow AC=\frac{4}{5}BC\)
* Áp dụng hệ thức :
\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{144}=\frac{1}{\frac{9}{25}BC^2}+\frac{1}{\frac{16}{25}BC^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{144}=\frac{\frac{16}{25}BC^2+\frac{9}{25}BC^2}{\frac{16}{25}BC^2.\frac{9}{25}BC^2}\Rightarrow144BC^2=\frac{144}{625}BC^4\)
\(\Leftrightarrow\frac{144}{625}BC^2-144=0\Leftrightarrow BC^2=144.\frac{625}{144}=625\Leftrightarrow BC=25\)cm
\(\Rightarrow AB=\frac{3}{5}BC=\frac{3}{5}.25=\frac{75}{5}=15\)cm
\(\Rightarrow AC=\frac{4}{5}BC=\frac{4}{5}.25=\frac{100}{5}=20\)
Chu vi tam giác là : \(P_{ABC}=AB+BC+AB=15+20+25=60\)cm2
A B C H D 15 20
b, Vì AD là phân giác nên : \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\Rightarrow AB=\frac{3}{4}AC\)
Lại có : \(BC=BD+DC=15+20=35\)cm
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A
\(BC^2=AC^2+AB^2=AC^2+\left(\frac{3}{4}AC\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{25}{16}AC^2=1225\Leftrightarrow AC^2=\frac{16.1225}{25}=784\Leftrightarrow AC=28\)cm
\(\Rightarrow AB=\frac{3}{4}.28=21\)cm
* Áp dụng hệ thức : \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{AC^2+AB^2}{AB^2AC^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{784+441}{345744}\Leftrightarrow1225AH^2=345744\Leftrightarrow AH^2=\frac{7056}{25}\Leftrightarrow AH=\frac{84}{5}\)cm
* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{441}{35}=\frac{63}{5}\)cm
\(\Rightarrow HD=BD-BH=15-\frac{63}{5}=\frac{12}{5}\)cm
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác AHD vuông tại H
\(AD^2=AH^2+HD^2=\left(\frac{84}{5}\right)^2+\left(\frac{12}{5}\right)^2=288\Rightarrow AD=12\sqrt{2}\)cm
Với \(a;b\ge0;a\ne1\)
\(P=\left(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right):\left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)\)
\(=\left(\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right):\left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)\)
\(=\left(a-2\sqrt{ab}+b\right):\left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=a-b\)
A B C E F N M O D G
1. Vì \(\widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90^0\) nên tứ giác AEBD nội tiếp đường tròn đường kính AB.
2. Tứ giác AEBD, AFCD nội tiếp và BE, CF tiếp xúc (O), suy ra:
\(\widehat{AED}=\widehat{ABC}=\widehat{ACF}=\widehat{ADF};\widehat{AFD}=\widehat{ADE}\)
Do đó \(\Delta\)EAD ~ \(\Delta\)DAF, suy ra \(AD^2=AE.AF\)
3. Ta có \(AE.AF=\left(AM+AN\right)^2=\frac{\left(AE+AF\right)^2}{4}\Leftrightarrow\left(AE-AF\right)^2=0\Leftrightarrow AE=AF\)
Từ đó \(\Delta\)AEG = \(\Delta\)AFG (Cạnh huyền.Cạnh góc vuông), suy ra GA là phân giác góc BGC
Mà \(\Delta\)GBC cân tại G nên GA là trung trực BC hay \(\Delta\)ABC cân tại A
Vậy đường cao AD trùng với AO hay A,O,D thẳng hàng.
Để phương trình có nghiệm khi
\(\Delta=m^2-4\left(-3\right)=m^2+12>0\)
Theo Vi et : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m\\x_1x_2=\frac{c}{a}=-3\end{cases}}\)
Lại có : \(\left(x_1+x_2\right)^2=m^2\Rightarrow x_1^2+x_2^2=m^2-2x_1x_2=m^2+6\)
\(m^2+6+m=10\Leftrightarrow m^2+m-4=0\)
\(\Delta=1-4\left(-4\right)=1+16>0\)
Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=\frac{-1-\sqrt{17}}{2};x_2=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\)
\(a=1,b=-m,c=-3\)
\(\Delta=m^2-4.1.\left(-3\right)=m^2-\left(-12\right)\)
\(\Delta=m^2+12>0\)
<=> phương trình có 2 no pb
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m\\x_1.x_2=\frac{c}{a}=-3\end{cases}}\)
\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+m=10\)
\(m^2-\left(-6\right)+m=10\)
\(m^2+6+m=10\)
\(m^2-4+m=0\)
\(\Delta\)>0
lên m có 2 n0 pb
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{1+4.4}=\sqrt{17}\)
\(m_1=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\)
\(m_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\)
A B C H D
Vì AD là phân giác nên \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{10}{20}\Rightarrow AB=\frac{1}{2}AC\)
Lại có : \(BD+DC=BC\Rightarrow BC=10+20=30\)cm
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A
\(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow\left(\frac{1}{2}AC\right)^2+AC^2=900\)cm
\(\Leftrightarrow\frac{5}{4}AC^2=900\Leftrightarrow AC^2=720\Leftrightarrow AC=12\sqrt{5}\)cm
\(\Rightarrow AB=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.12\sqrt{5}=6\sqrt{5}\)cm
* Áp dụng hệ thức \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{180}+\frac{1}{720}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{144}\Leftrightarrow AH^2=144\Leftrightarrow AH=12\)cm
* Áp dụng hệ thức
\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{180}{30}=6\)cm
\(\Rightarrow BD=BH+HD\Rightarrow HD=BD-BH=10-6=4\)cm
AD phân giác
=> \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{1}{4}\)
=> 4.AB2 = AC2 (1)
Vì tam giác ABC vuông tại A
=> AB2 + AC2 = BC2 (định lý Py-ta-go)
=> AB2 + AC2 = (BD+DC)2
=> 4AB2 = 302
=> AB2 = 180
=> AC2 = 720
Lại có \(S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}=\frac{AH.BC}{2}\)
=> AB.AC = AH.BC
=> AB2.AC2 = AH2.BC2
=> AH2 = \(\frac{AB^2.AC^2}{BC^2}=\frac{180.720}{900}=144\)
=> AH = 12 cm
mà tam giác ABH vuông tai H
=> AH2 + BH2 = AB2
=> BH2 = AB2 - AH2 = 180 - 144 = 36
=> BH = 6 cm
mà BH + HD = BD
=> BH = BD - HD = 10 - 6 = 4 cm
Mình cũng học lớp 9 nhưng mk ko biết làm bài này.
Đk: \(-1\le x,y,z\le1\)
Ta có: \(x\sqrt{1-y^2}\le\frac{x^2+1-y^2}{2}=\frac{x^2-y^2}{2}+\frac{1}{2}\) (bđt cosi)
CMTT: \(y\sqrt{1-z^2}\le\frac{y^2-z^2}{2}+\frac{1}{2}\)
\(z\sqrt{1-x^2}\le\frac{z^2-x^2}{2}+\frac{1}{2}\)
=> VT = \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\le\frac{x^2-y^2}{2}+\frac{y^2-z^2}{2}+\frac{z^2-x^2}{2}+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
VP = 3/2
=> VT = VP <=> \(\hept{\begin{cases}x^2=1-y^2\\y^2=1-z^2\\z^2=1-x^2\end{cases}}\) <=> \(x^2+y^2+z^2=1-y^2+1-z^2+1-x ^2\)
<=> \(2x^2+2y^2+2z^2=3\) <=> \(x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}\)