a)Áp dụng BDT AM-GM ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

Nhân theo vế ta có: 

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Biến đổi vế trài ta có

a³+b³+c³-3abc+3ab(a+b)-3ab(a+b)

=(a+b)(a²-ab+b²)-3ab(a+b+c)+3ab(a+b)+c³

=(a+b)(a+b)²+c³-3ab(a+B+c)

=......................

Bn cứ nhóm lại là = vế phải.

bạn thiếu dấu cộng giữa b² và c² vì vậy vế phải là (a+b+c)(a²+b²+c² -ab-bc-ac)

Ta có : a³+b³+c³ -3abc = (a+b)³ -3ab(a+b)+c³ -3abc = (a+b)³ +c³  -3ab(a+b+c)

                                   =(a+b+c)³ -3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b+c)

                                   =(a+b+c)((a+b+c)²-3(ac+bc)-3ab)

                                   =(a+b+c)(a²+b²+c² +2ab +2ac +2bc -3ab -3bc -3ac )

                                   =(a+b+c)(a²+b² +c²-ab-bc-ac)=vp (đpcm)

a/ (x+5)(3x+2)^2=x^2(x+5)

(x+5)(9x^2+12x+4)=x^2(x+5)

9x^3+12x^2+4x+45x^2+60x+20=x^3+5x^2

9x^3-x^3+12x^2+45x^2-5x^2+4x+60x=-20

8x^3+52x^2+64x+20=0

........................

Đặt \(M=2+2\sqrt{12n^2+1}\)

Để M là số nguyên thì 12n² + 1  là số chính phương lẻ 
Đặt 12n² + 1 = (2k -1)²   (k \(\in\) N)

<=> 12n² + 1 = 4k² - 4k +1

<=> 12n² = 4k² - 4k 

<=> 3n² = k(k - 1)

=> k(k - 1) chia hết cho 3 => k chia hết cho 3 hoặc k - 1 chia hết cho 3

TH1 : k ⋮ 3 => n² =(\(\frac{k}{3}\)).(k - 1)     Mà (\(\frac{k}{3}\) ; k-1 )= 1 nên đặt \(\frac{k}{3}\) = x² => k = 3x²

  và đặt k - 1 = y² => k = y² +1

  => 3x² = y² + 1 = 2 ( mod 3)

  Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1

TH2 : k - 1 ⋮ 3: ta có :

  => n² = \(\frac{k\left(k-1\right)}{3}\)     Mà ( k; (\(\frac{k-1}{3}\)) =1 nên đặt k = z² 

=> M = 2 + 2(2k - 1) = 4k = 4z² =(2z)² là 1 số chính phương 

 => M là một số chính phương ( đpcm )

\(2+2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}\in Q\)

\(\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}=m\in Z^+\Rightarrow12n^2=m^2-1⋮4\Rightarrow m=2k+1,k\in Z\)

\(12n^2=\left(2k+1\right)^2-1=4k\left(k+1\right)\Rightarrow3n^2=k\left(k+1\right)⋮3\)hoặc \(k+1⋮3\)

TH1: \(k=3q,q\in Z\Rightarrow3n^2=3q\left(q+1\right)\Rightarrow n^2=q\left(q+1\right)\)

Vì \(\left(q,3q+1\right)=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}q=a^2\\3q+1=b^2\end{cases}\Rightarrow3q^2+1=b^2}\)

Ta có: \(2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2m=2+2\left(2k+1\right)=4+4.3q=4+12q^2=4b^2\)(CMT)

Ta có đpcm

TH2(tương tự):\(k=3q+1\)

c(x-1)^2=4

x^2-2x+1=4

x^2-2x+1-4=0

x^2-2x-3=0

x^2-3x+x-3=0

x(x-3)+(x-3)=0

(x-3)(x+1)=0

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-3=0\\x+1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\x=-1\end{cases}}}\)

d, x^3+2x^2-x-2=0

x^2(x+2)-(x+2)=0

(x+2)(x^2-1)=0

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\x=+-1\end{cases}}\)

Thay x=1 vào phương trình ta được:

2(2.1+1)+18=3(1+2)(2.1+k)

->24=9(2+k)

-> k=2/3

P/S: với dạng toán hỏi: tìm giá trị của k để biểu thức có nghiệm là x=\(x_0\)thì ta giái bằng cách thay nghiệm \(x_0\)đó vào phương trình rồi giải tìm ra k

2(2x+1)+18=3(x+2)(2x+k)

Thay x=1 vào phương trình trên :

2(2+1)+18=3(1+2)(2+k)

4+2+18=(3+6)(2+k)

24=6+3k+12+6k

-3k-6k=-24+6+12

-9k=-6

k=2/3