\(\frac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}+\frac{yz+2y+1}{yz+y+z+1}+\frac{zx+2z+1}{zx+z+x+1}\)

Ta có: \(\frac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}=\frac{\left(xy+x\right)+\left(x+1\right)}{\left(xy+x\right)+\left(y+1\right)}=\frac{x\left(y+1\right)+\left(x+1\right)}{\left(y+1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{y+1}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{yz+2y+1}{yz+y+z+1}=\frac{y}{y+1}+\frac{1}{z+1}\)

\(\frac{zx+2z+1}{zx+z+x+1}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{x+1}\)

Từ đây ta có biểu thức ban đầu sẽ bằng

\(\frac{x}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{z}{z+1}+\frac{1}{x+1}\)

\(\left(\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}\right)+\left(\frac{y}{y+1}+\frac{1}{y+1}\right)+\left(\frac{z}{z+1}+\frac{1}{z+1}\right)=1+1+1=3\)

CHÚ Ý: ab+a+b+1=a(b+1)+(b+1)=(a+1)(b+1)

Xét: \(\frac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}=\frac{x\left(y+1\right)+x+1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{y+1}\)

Tương tự với 2 biểu thức còn lại ta được:

A=\(\frac{x}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{z}{z+1}+\frac{1}{x+1}\)

=\(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}=1+1+1=3\)

pt <=> (2x+1)(5x-8)-(2x+1)(3x-2)=0

<=> (2x+1) (5x-8-3x+2)=0

<=> (2x+1) (2x-6)=0

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x+1=0\\2x-6=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\x=3\end{cases}}\)

Ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c\left(a+b+c\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\frac{ab+ca+c\left(b+c\right)}{abc\left(a+b+c\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc\left(a+b+c\right)}=0\)

<=> a+b=0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0

TH1: Nếu a+b=0

Ta có: \(a^{25}+b^{25}=\left(a+b\right)\left(...\right)\)=> A=0

TH2: Nếu b+c=0 

Ta có: \(b^3+c^3=\left(b+c\right)\left(...\right)=0\)=> A=0

TH3: Nếu c+a=0 => c=-a => \(c^{2000}=a^{2000}\Rightarrow c^{2000}-a^{2000}=0\)=> A=0

Vậy trong tất cả các TH thì A=0

36+14=8+14=2.75*8=22

 36-14= 8+14 =2,75*8 =22

1) \(M=a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)

Em chú ý bài toán sau nhé: Nếu a+b+c=0 <=> \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

CM: có:a+b=-c <=> \(\left(a+b\right)^3=-c^3\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)

Chú ý: a+b=-c nên \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

Do \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

Thay vào biểu thwusc M ta được M=3abc (ĐPCM)

2, em có thể tham khảo trong sách Nâng cao phát triển toán 8 nhé, anh nhớ không nhầm thì bài này trong đó

Nếu không thấy thì em có thể quy đồng lên mà rút gọn

vâng e cảm ơn anh 

\(=\left(x^3+y^3\right)+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz\)

\(=\left(x+y+z\right)^3-3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-3xy\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3z\left(x+y\right)-3xy\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy+yz+zx\right)\)

ta có: \(x^2+y^2\ge2xy\)

áp dụng tương tự cho với y,z và z,x

ta CM được: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

Dấu = xaye ra <=> x=y=z

Thay vào pt 2 ta được: \(3x^{2009}=3^{2010}\Leftrightarrow x=3\)

vậy x=y=z=3