Ta có: n⁵ – n = n.(n⁴ – 1) = n.(n⁴ – n² + n² – 1)

= n.[(n⁴ – n²) + (n² – 1)]

= n.[n²(n² – 1) + (n² – 1)]

= n.(n² – 1).(n² + 1)

= n.(n² – n + n – 1)(n² + 1)

= n.[(n² – n) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.(n – 1).(n + 1).(n² + 1)

Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n⁵ – n chia hết cho 3 (1)

Mặt khác: n⁵ = n⁴⁺¹ có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n

=> n⁵ – n có chữ số tận cùng bằng 0.

=> n⁵ – n chia hết cho 10 (2)

Từ (1), (2) suy ra: n⁵ – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n⁵ – n chia hết cho 30 (đpcm).

Ta có: n⁵ – n = n.(n⁴ – 1) = n.(n⁴ – n² + n² – 1)

= n.[(n⁴ – n²) + (n² – 1)]

= n.[n²(n² – 1) + (n² – 1)]

= n.(n² – 1).(n² + 1)

= n.(n² – n + n – 1)(n² + 1)

= n.[(n² – n) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.(n – 1).(n + 1).(n² + 1)

Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n⁵ – n chia hết cho 3 (1)

Mặt khác: n⁵ = n⁴⁺¹ có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n

=> n⁵ – n có chữ số tận cùng bằng 0.

=> n⁵ – n chia hết cho 10 (2)

Từ (1), (2) suy ra: n⁵ – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n⁵ – n chia hết cho 30 (đpcm).

Xét x-7=2.(x+5)

      x-7=2x+10

     -10-7=2x-x

    -17=x

Xét -(x-7)=2.(x+5)

     -x+7=2x+10

 7-10=2x+x

 -3=3x

-1=x

Vậy x=-1 hoặc x=-17

B=(1-2/5) (1-2/7) (1-2/9) ...... (1-2/99)

  =3/5.5/7.7/9 .....97/99

  =3/99=1/33

B=(1-2/5)(1-2/7)(1-2/9)......(1-2/99)

=3/5.5/7.7/9........97/99

=3/5.5/7.7/9.....97/99

=3/99

=1/33

2^m - 2ⁿ = 256 = 2⁸ \(\Rightarrow\)2ⁿ . ( 2^m-n - 1 ) = 2⁸

dễ thấy m \(\ne\)n , ta xét 2 trường hợp :

a) nếu m - n = 1 thì từ ( 1 ) ta có : 2ⁿ . ( 2 - 1 ) = 2⁸ . suy ra : n = 8, m = 9

b) nếu m - n \(\ge\)2 thì 2^m-n - 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của ( 1 ) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tích ra thừa số nguyên tố. còn vế phải của ( 1 ) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2. Mâu thuẫn

Vậy n = 8 , m = 9 là đáp số bài trên

đặt A = \(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}+\frac{100}{3^{100}}\)

3A = \(1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{4}{3^3}+...+\frac{99}{3^{98}}+\frac{100}{3^{99}}\)

3A - A = 2A = \(1+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}+\frac{1}{3^{99}}\right)-\frac{100}{3^{100}}\)

biểu thức trong dấu ngoặc nhỏ hơn \(\frac{1}{2}\)( tự chứng minh ) nên 2A < 1 + \(\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow A< \frac{3}{4}\)

Đề bài là gì ??

tìm x nha bạn

\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\Rightarrow\frac{x}{4}=\frac{y}{6}\)( 1 )

\(\frac{y}{2}=\frac{z}{4}\Rightarrow\frac{y}{6}=\frac{z}{12}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{x}{4}=\frac{y}{6}=\frac{z}{12}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\(\frac{x}{4}=\frac{y}{6}=\frac{z}{12}=\frac{x+y-z}{4+6-12}=\frac{-78}{-2}=39\)

\(\Rightarrow x=156;y=234;z=468\)

\(\frac{x}{2}\)=\(\frac{y}{3}\)=>\(\frac{x}{4}\)=\(\frac{y}{6}\)(1)

\(\frac{y}{2}\)=\(\frac{z}{4}\)=>\(\frac{y}{6}\)=\(\frac{z}{12}\)(2)

Từ (1) (2)=>\(\frac{x}{4}\)=\(\frac{y}{6}\)=\(\frac{z}{12}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{x}{4}\)=\(\frac{y}{6}\)=\(\frac{z}{12}\)=\(\frac{x+y+z}{4+6+12}\)=\(\frac{-78}{22}\)=\(\frac{-39}{11}\)

\(\frac{x}{4}\)=\(\frac{-39}{11}\)=>\(\frac{-156}{11}\)

\(\frac{y}{6}\)=\(\frac{-39}{11}\)=>\(\frac{-234}{11}\)

\(\frac{z}{12}\)=\(\frac{-39}{11}\)=>\(\frac{-486}{11}\)