chứng minh rằng A= n\(^5\)- n chia hết cho 30 với n thuộc Z
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét x-7=2.(x+5)
x-7=2x+10
-10-7=2x-x
-17=x
Xét -(x-7)=2.(x+5)
-x+7=2x+10
7-10=2x+x
-3=3x
-1=x
Vậy x=-1 hoặc x=-17
B=(1-2/5) (1-2/7) (1-2/9) ...... (1-2/99)
=3/5.5/7.7/9 .....97/99
=3/99=1/33
B=(1-2/5)(1-2/7)(1-2/9)......(1-2/99)
=3/5.5/7.7/9........97/99
=3/5.5/7.7/9.....97/99
=3/99
=1/33
2m - 2n = 256 = 28 \(\Rightarrow\)2n . ( 2m-n - 1 ) = 28
dễ thấy m \(\ne\)n , ta xét 2 trường hợp :
a) nếu m - n = 1 thì từ ( 1 ) ta có : 2n . ( 2 - 1 ) = 28 . suy ra : n = 8, m = 9
b) nếu m - n \(\ge\)2 thì 2m-n - 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của ( 1 ) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tích ra thừa số nguyên tố. còn vế phải của ( 1 ) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2. Mâu thuẫn
Vậy n = 8 , m = 9 là đáp số bài trên
đặt A = \(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}+\frac{100}{3^{100}}\)
3A = \(1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{4}{3^3}+...+\frac{99}{3^{98}}+\frac{100}{3^{99}}\)
3A - A = 2A = \(1+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}+\frac{1}{3^{99}}\right)-\frac{100}{3^{100}}\)
biểu thức trong dấu ngoặc nhỏ hơn \(\frac{1}{2}\)( tự chứng minh ) nên 2A < 1 + \(\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{3}{4}\)
\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\Rightarrow\frac{x}{4}=\frac{y}{6}\)( 1 )
\(\frac{y}{2}=\frac{z}{4}\Rightarrow\frac{y}{6}=\frac{z}{12}\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{x}{4}=\frac{y}{6}=\frac{z}{12}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
\(\frac{x}{4}=\frac{y}{6}=\frac{z}{12}=\frac{x+y-z}{4+6-12}=\frac{-78}{-2}=39\)
\(\Rightarrow x=156;y=234;z=468\)
\(\frac{x}{2}\)=\(\frac{y}{3}\)=>\(\frac{x}{4}\)=\(\frac{y}{6}\)(1)
\(\frac{y}{2}\)=\(\frac{z}{4}\)=>\(\frac{y}{6}\)=\(\frac{z}{12}\)(2)
Từ (1) (2)=>\(\frac{x}{4}\)=\(\frac{y}{6}\)=\(\frac{z}{12}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{x}{4}\)=\(\frac{y}{6}\)=\(\frac{z}{12}\)=\(\frac{x+y+z}{4+6+12}\)=\(\frac{-78}{22}\)=\(\frac{-39}{11}\)
\(\frac{x}{4}\)=\(\frac{-39}{11}\)=>\(\frac{-156}{11}\)
\(\frac{y}{6}\)=\(\frac{-39}{11}\)=>\(\frac{-234}{11}\)
\(\frac{z}{12}\)=\(\frac{-39}{11}\)=>\(\frac{-486}{11}\)
Ta có: n5 – n = n.(n4 – 1) = n.(n4 – n2 + n2 – 1)
= n.[(n4 – n2) + (n2 – 1)]
= n.[n2(n2 – 1) + (n2 – 1)]
= n.(n2 – 1).(n2 + 1)
= n.(n2 – n + n – 1)(n2 + 1)
= n.[(n2 – n) + (n – 1)].(n2 + 1)
= n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n2 + 1)
= n.(n – 1).(n + 1).(n2 + 1)
Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n5 – n chia hết cho 3 (1)
Mặt khác: n5 = n4+1 có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n
=> n5 – n có chữ số tận cùng bằng 0.
=> n5 – n chia hết cho 10 (2)
Từ (1), (2) suy ra: n5 – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n5 – n chia hết cho 30 (đpcm).
Ta có: n5 – n = n.(n4 – 1) = n.(n4 – n2 + n2 – 1)
= n.[(n4 – n2) + (n2 – 1)]
= n.[n2(n2 – 1) + (n2 – 1)]
= n.(n2 – 1).(n2 + 1)
= n.(n2 – n + n – 1)(n2 + 1)
= n.[(n2 – n) + (n – 1)].(n2 + 1)
= n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n2 + 1)
= n.(n – 1).(n + 1).(n2 + 1)
Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n5 – n chia hết cho 3 (1)
Mặt khác: n5 = n4+1 có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n
=> n5 – n có chữ số tận cùng bằng 0.
=> n5 – n chia hết cho 10 (2)
Từ (1), (2) suy ra: n5 – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n5 – n chia hết cho 30 (đpcm).