\(5n^3+15n^2+10n\)

\(=\left(5n^3+5n^2\right)+\left(10n^2+10n\right)\)

\(=5n^2\left(n+1\right)+10n\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(5n+10\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right).5\)

Vì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6; tức tích \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right).5\)chia hết cho 6.

Tích \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right).5\) thừa số 5 nên chia hết cho 5.

Mà ƯCLN ( 5;6) = 1 nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right).5\)chia hết cho 5.6 = 30

Vậy \(5n^3+15n^2+10n\)chia hết cho 30

giai gium nha

 (a+b-c)^2 + (a-b+c)^2 - 2(b-c)^2 

= (a + b - c)^2 - (b - c)^2 + (a - b + c)^2 - (b - c)^2 

= (a + b - c + b - c)(a + b - c - b + c) + (a - b + c - b + c)(a - b + c + b - c) 

= a^2 + a^2 

= 2.a^2

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\left(1\right)\)

Từ \(x+y=6=>\left(x+y\right)^2=6^2=>x^2+2xy+y^2=36=>x^2+2xy+y^2-3xy=36-3xy\)

\(=>x^2+y^2-xy=36-3.10=36-30=6\left(2\right)\)

Do đó:

\(x^3+y^3=6.6=36\)

\(A=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)=\left[\left(x+1\right)\left(x+4\right)\right].\left[\left(x+2\right)\left(x+3\right)\right]\)

\(=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)=\left(x^2+5x+5-1\right)\left(x^2+5x+5+1\right)\)

Đặt \(m=x^2+5x+1\)

\(=>A=\left(m-1\right)\left(m+1\right)=m^2-1\)

Vì \(m^2\ge0=>m^2-1\ge-1\) (với mọi m)

Dấu "=" xảy ra \(< =>m=0< =>x^2+5x+1=0< =>x^2+2.x.\frac{5}{2}+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+1=0\)

\(< =>\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{21}{4}=0< =>\left(x+\frac{5}{2}\right)^2=\frac{21}{4}< =>\orbr{\begin{cases}x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2}\\x+\frac{5}{2}=\frac{-\sqrt{21}}{2}\end{cases}}\)

\(< =>\orbr{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{21}}{2}-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}-5}{2}\\x=\frac{-\sqrt{21}}{2}-\frac{5}{2}=\frac{-\sqrt{21}-5}{2}\end{cases}}\)

Vậy MinA=-1 khi \(\orbr{\begin{cases}x=....\\x=....\end{cases}}\)

\(D=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x^2-4x\right)+50\)

\(=\left(x^2-4x+3\right)\left(x^2-4x\right)+50=\left(x^2-4x+1,5+1,5\right)\left(x^2-4x+1,5-1,5\right)+50\)

Đặt \(t=x^2-4x+1,5\)

\(=>D=\left(t-1,5\right)\left(t+1,5\right)+50=t^2-\frac{9}{4}+50=t^2+\frac{191}{4}\)

Vì \(t^2\ge0=>t^2+\frac{191}{4}\ge\frac{191}{4}\) (với mọi t)

Dấu "=" xảy ra \(< =>t=0< =>x^2+4x+1,5=0< =>x^2+2.x.2+4-2,5=0< =>\left(x+2\right)^2=2,5=\frac{5}{2}\)

\(< =>\orbr{\begin{cases}x+2=\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}\\x+2=-\sqrt{\frac{5}{2}}=-\frac{\sqrt{10}}{2}\end{cases}< =>\orbr{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{10}}{2}-2=\frac{\sqrt{10}-4}{2}\\x=-\frac{\sqrt{10}}{2}-2=\frac{-\sqrt{10}-4}{2}\end{cases}}}\)

Vậy minD=191/4 khi ................

Mình khẳng định điều ngược lại:

"Không thể biểu diễn lập phương 1 số nguyên dưới dạng hiệu lập phương 2 số nguyên"

Tức là không tồn tại nghiệm nguyên a;b;c của :

a³ = c³ - b³ hay cũng tương đương a³ + b³ = c³

Lời giải ở đây.

math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf

\(C=\left(x^2+5x+4\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

Đặt \(t=x^2+5x+5\)\(\Rightarrow C=\left(t-1\right)\left(t+1\right)=t^2-1\ge-1\)

\(\Rightarrow MinC=-1\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow x^2+5x+5=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-5+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{-5-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)