1./ Khẳng định 1: Với mọi p tự nhiên > 0, ta đều có: y^p - 1 = (y - 1)*(y^p-1 + y^p-2 + y^p-3 +... + y + 1)

Hay y^p - 1 chia hết cho y - 1 với mọi y nguyên > 1.

2./ Nếu m = n = 0 thì hiển nhiên x^3*0+1 + x^3*0+2 + 1 = x² + x + 1 chia hết cho:  x² + x + 1

3./ Nếu m; n không đồng thời bằng 0 thì:

Viết \(A=x^{3m+1}+x^{3n+2}+1=x\cdot x^{3m}-x+x^2\cdot x^{3n}-x^2+x^2+x+1.\)

\(A=x\left(x^{3m}-1\right)+x^2\left(x^{3n}-1\right)+x^2+x+1\)

\(A=x\left(\left(x^3\right)^m-1\right)+x^2\left(\left(x^3\right)^n-1\right)+x^2+x+1\)

Áp dụng khẳng định 1 cho m, n tự nhiên > 0 ta có:

\(\left(x^3\right)^m-1\)và \(\left(x^3\right)^m-1\)chia hết cho x³ - 1. Mà x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)

=> \(\left(x^3\right)^m-1\)và \(\left(x^3\right)^m-1\)chia hết cho x² + x + 1

=> A chia hết cho x² + x + 1 với mọi m,n là số tự nhiên. đpcm

Với m,n là các số tự nhiên ta có \(x^{3m+1}+x^{3n+1}+1=\left(x^{3m+1}-x\right)+\left(x^{3n+2}-x\right)+x^2+x+1\)
Ta thấy:

1. \(x^{3m+1}-x=x\left(\left(x^3\right)^m-1\right)\) chia hết cho \(x^3-1\)và vì \(x^3-1\) chia hết cho x^2 + x + 1 nên x^(3m + 1) - x chia hết cho x^2 + x + 1. 

ii/ x^(3n + 2) - x^2 = x^2[(x^3)^n - 1] chia hết cho x^3 - 1, và vì x^3 - 1 chia hết cho x^2 + x + 1 nên x^(3n + 2) - x^2 chia hết cho x^2 + x + 1. 
Từ đó suy ra [x^(3m + 1) - x] + [x^(3n + 2) - x^2] + (x^2 + x + 1) chia hết cho x^2 + x + 1, hay x^(3m + 1) + x^(3n + 2) + 1 chia hết cho x^2 + x + 1. Đây là điều phải chứng minh.

https://lazi.vn/users/dang_ky?u=kieu-anh.pham4

2n³-7n²+13n

=2n³-n²-6n²+3n+10n

=n²(2n-1)-3n(2n-1)+10n chia hết cho 2n-1

=>10n chia hết cho 2n-1

=>10n-5+5 chia hết cho 2n-1

=>5 chia hết cho 2n-1

=>2n-1=-5;-1;1;5

=>2n=-4;0;2;6

=>n=-2;0;1;3

Vậy n=-2;0;1;3

Tìm các số nguyên n để:  Gía trị biểu thức n³-n²+2n+7 chia hết cho giá trị biểu thức n²+1

(x+y)^6+(x-y)^6=[(x+y)²]³+[(x-y)²]³=[(x+y)²+(x-y)²][(x+y)⁴-(x+y)(x-y)+(x-y)⁴]

=(2x²+2y²)[(x+y)⁴-(x+y)(x-y)+(x-y)⁴]

=2.(x²+y²)[(x+y)⁴-(x+y)(x-y)+(x-y)⁴] chia hết cho đa thức x²+y²

=> điều phải chứng minh